Examen Matemáticas II Madrid 2024 Resuelto | Selectividad
El examen de Matemáticas II de la EvAU 2024 ordinaria de la Comunidad de Madrid mantuvo la estructura clásica del distrito: 8 ejercicios (4 en el bloque A, 4 en el bloque B) de los cuales el alumno responde solo 4 libremente. Cada ejercicio vale 2,5 puntos y la duración del examen es de 90 minutos.
Los cuatro grandes bloques del temario LOMLOE —Álgebra lineal, Análisis, Geometría del espacio y Probabilidad— aparecen repartidos en ambos bloques A y B. La elección libre permite mezclar 4 ejercicios de bloques distintos; es la estrategia más segura para minimizar el riesgo de un tema cojo.
Esta página recoge la ficha completa, el análisis de lo que cayó en cada ejercicio y la estrategia recomendada para abordarlos. No incluimos resolución numérica: nos centramos en identificar el tipo de problema, el método de resolución y los errores típicos.
📑 Índice de contenidos
Ficha del examen
| CCAA | Comunidad de Madrid |
| Asignatura | Matemáticas II |
| Año | 2024 |
| Convocatoria | Ordinaria (junio) |
| Duración | 90 minutos |
| Estructura | 8 ejercicios (A.1-A.4 y B.1-B.4); responder 4 libremente |
| Puntuación | 2,5 puntos por ejercicio, total 10 |
| Coordina | Universidades Públicas de la Comunidad de Madrid (UCM) |
📄 Descargar el examen oficial (PDF en UCM.es)
Aviso: enlazamos al PDF oficial alojado en la UCM. No alojamos copia. El desglose que sigue es nuestro análisis pedagógico del modelo, no incluye la corrección numérica oficial.
Análisis del examen Matemáticas II Madrid 2024
El examen distribuye los 4 bloques temáticos así: cada bloque (A y B) tiene un ejercicio de Álgebra lineal, otro de Análisis, otro de Geometría 3D y otro de Probabilidad. El alumno puede mezclar entre A y B (no es elegir todo A o todo B).
El reparto por bloques temáticos:
- Álgebra lineal: A.1 (problema verbal con sistema 3×3) y B.1 (matrices con parámetro).
- Análisis: A.2 (función polinómica con π — tangente, Rolle/Bolzano, área entre curvas) y B.2 (integración por partes + límite tipo 1^∞).
- Geometría 3D: A.3 (plano por dos puntos y rectas paralelas con distancia) y B.3 (tetraedro y paralelepípedo).
- Probabilidad: A.4 (probabilidad condicional, intersección, independencia) y B.4 (dos dados con regla dependiente, condicional).
El ejercicio que más penalizó a los alumnos fue A.2: una función con potencias crecientes de π que exige aplicar el Teorema de Rolle y el de Bolzano para probar la existencia de un punto con derivada nula. Es un ejercicio teórico, no mecánico: quien no recordaba las hipótesis exactas (continuidad en cerrado, derivabilidad en abierto, igualdad en extremos para Rolle; cambio de signo para Bolzano) perdió los 2,5 puntos.
Qué cayó: desglose por ejercicios
A.1 — Sistemas de ecuaciones (problema verbal de listones)
Bloque: Álgebra lineal · Dificultad: ⭐⭐ (fácil-medio) · Vale: 2,5 pts.
Qué pide: a partir de un problema sobre tres tipos de listones de madera (largos, intermedios, cortos), plantear un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que recoja las tres condiciones del enunciado, y resolverlo.
Qué evalúa: traducción de un enunciado verbal a sistema lineal; resolución por Gauss, Cramer o sustitución.
Cómo abordarlo: la dificultad está en el planteamiento, no en la resolución. Asigna variables claras (x, y, z), traduce cada condición a una ecuación y comprueba que el sistema es compatible determinado antes de calcular.
A.2 — Cálculo: función polinómica con π
Bloque: Análisis · Dificultad: ⭐⭐⭐⭐ (alta) · Vale: 2,5 pts.
Qué pide: (a) recta tangente a f(x) = x⁴ + πx³ + π²x² + π³x + π⁴ en x = π; (b) probar que f'(x) tiene al menos un cero en (-π, 0) aplicando Rolle, y luego volver a probarlo aplicando Bolzano; (c) calcular el área entre f(x) y g(x) = f(-x) en [0, π].
Qué evalúa: derivación de polinomios; teoremas de Rolle (continuidad, derivabilidad, f(a)=f(b)) y Bolzano (continuidad y cambio de signo); integración definida.
Cómo abordarlo: el apartado (b) es el que decide la nota. Memoriza las hipótesis de cada teorema y verifícalas explícitamente antes de aplicarlos. En (c), observa que g(x) cambia el signo de las potencias impares, por lo que f(x)-g(x) es la suma duplicada de los términos impares. La integral se simplifica mucho.
Error típico: aplicar Rolle sin comprobar f(-π) = f(0); aplicar Bolzano sobre f en vez de sobre f’ (la pregunta es sobre el cero de la derivada).
A.3 — Geometría del espacio: plano y rectas paralelas
Bloque: Geometría 3D · Dificultad: ⭐⭐⭐ (media) · Vale: 2,5 pts.
Qué pide: dados A(0,0,1) y B(1,1,0), (a) hallar la ecuación del plano que pasa por ambos y es perpendicular al plano z=0; (b) hallar dos rectas paralelas r₁ y r₂, que pasan por A y B respectivamente, están contenidas en el plano x+z=1 y distan 1.
Qué evalúa: producto vectorial para hallar vector normal; parametrización de rectas en un plano dado; fórmula de distancia entre rectas paralelas.
Cómo abordarlo: en (a), el vector normal del plano buscado es AB × k (con k = vector normal a z=0). En (b), parametriza el vector director de las rectas como (a, b, -a) (porque deben estar en x+z=1), e impón la condición de distancia entre rectas paralelas; obtienes b = 0 o b = 4a como las dos familias posibles.
A.4 — Probabilidad: condicional e independencia
Bloque: Probabilidad · Dificultad: ⭐⭐⭐ (media) · Vale: 2,5 pts.
Qué pide: dados P(Ā) = 11/20, P(A|B) – P(B|A) = 1/24 y P(A∩B) = 3/10, (a) calcular P(A∩B̄) y P(B); (b) dado un suceso C independiente de A con P(A∪C) = 14/25, calcular P(C).
Qué evalúa: probabilidad complementaria, intersección, regla de la suma, sucesos independientes.
Cómo abordarlo: empieza por P(A) = 1 – 11/20. Calcula P(A∩B̄) = P(A) – P(A∩B). Para P(B), despeja de la ecuación que relaciona P(A|B) y P(B|A). En (b), aplica la fórmula de la unión con independencia: P(A∪C) = P(A) + P(C) – P(A)·P(C).
B.1 — Álgebra lineal con matrices y parámetro
Bloque: Álgebra lineal · Dificultad: ⭐⭐⭐ (media) · Vale: 2,5 pts.
Qué pide: dadas tres matrices A, B (con parámetro b ≠ 0) y C, (a) valores de b para que BCB⁻¹ = A; (b) determinante de A·Aᵗ; (c) resolver el sistema Bx = v para b = 1.
Qué evalúa: invertibilidad y propiedades del determinante (det(Aᵗ) = det(A)); semejanza de matrices BCB⁻¹; resolución de sistemas por matriz inversa.
Cómo abordarlo: factoriza B como b·D y demuestra que BCB⁻¹ = DCD⁻¹ es válido para todo b ≠ 0 si DC = AD. En (b), aprovecha que det(A) = det(C) y aplica det(A·Aᵗ) = det(A)·det(Aᵗ) = det(A)².
B.2 — Cálculo: integral por partes y límite 1^∞
Bloque: Análisis · Dificultad: ⭐⭐⭐ (media) · Vale: 2,5 pts.
Qué pide: (a) ∫₁ᵉ (x+2)·ln(x) dx; (b) límite cuando x → π/2 de (tg(x/2))^(1/cos x), forma indeterminada 1^∞.
Qué evalúa: integración por partes con elección correcta de u y dv; resolución de límites de tipo 1^∞ mediante exponencial y regla de L’Hôpital.
Cómo abordarlo: para (a), elige u = ln(x), dv = (x+2)dx (regla mnemotécnica LIATE: logaritmo antes que algebraica). Aplica la regla de Barrow tras integrar. Para (b), transforma 1^∞ en e^(lim f·ln g) y aplica L’Hôpital al exponente, que se reduce a una indeterminación 0/0.
B.3 — Geometría del espacio: tetraedro y paralelepípedo
Bloque: Geometría 3D · Dificultad: ⭐⭐⭐ (media) · Vale: 2,5 pts.
Qué pide: dados tres vértices de un tetraedro y un cuarto vértice con una coordenada desconocida (a), (a) determinar el valor de a sabiendo que el volumen del tetraedro es 1 y la longitud de ninguna arista supera 10; (b) coordenadas de los 8 vértices de un paralelepípedo definido por tres aristas concurrentes.
Qué evalúa: fórmula del volumen del tetraedro como (1/6)·|det(aristas)|; construcción de polígonos a partir de vectores.
Cómo abordarlo: en (a), monta el determinante en función de a, iguala a ±6 y descarta la raíz que viola la restricción de longitud máxima. Hay dos candidatos y solo uno cumple. En (b), enumera los 8 vértices sumando combinaciones de las tres aristas a uno de los vértices base.
B.4 — Probabilidad con dos dados (regla dependiente)
Bloque: Probabilidad · Dificultad: ⭐⭐⭐⭐ (alta) · Vale: 2,5 pts.
Qué pide: dos dados (azul y rojo). La puntuación se calcula con una regla dependiente: si el dado azul es par, se le suma el doble del rojo; si es impar, se le suma solo el rojo. (a) probabilidad de puntuación 10; probabilidad de puntuación impar. (b) probabilidad condicional de que el azul fuera par dada puntuación 8, y de que el rojo fuera impar dada puntuación par.
Qué evalúa: enumeración de los 36 sucesos elementales; probabilidad condicional; teorema de Bayes.
Cómo abordarlo: dibuja una tabla 6×6 de pares (a, r) y aplica la regla en cada celda. Para la condicional, usa P(A|B) = P(A∩B)/P(B). Observación útil: la puntuación impar solo aparece cuando el dado azul es impar (par+algo siempre es par cuando se duplica el rojo; pero impar+rojo da impar si el rojo es par, etc. — revisa caso por caso).
Error típico: aplicar mecánicamente la fórmula sin enumerar; confundir P(par|8) con P(8|par).
Cómo abordar el examen: estrategia recomendada
- Lee los 8 problemas en los primeros 5 minutos. Marca con ✓ los que dominas, con ? los dudosos y con ✗ los que evitarías. La elección consciente vale más que empezar a ciegas.
- Cubre los 4 bloques temáticos: idealmente uno de Álgebra, uno de Análisis, uno de Geometría y uno de Probabilidad. Así proteges la nota frente a un tema flojo.
- Empieza por el más fácil: ganas confianza y minutos. A.1 (sistema de ecuaciones) suele ser un buen punto de partida.
- Reserva los teoremas para cuando estés caliente: A.2 (Rolle/Bolzano) exige enunciar hipótesis con precisión; mejor afrontarlo con 2-3 ejercicios ya resueltos.
- Justifica cada paso: el documento oficial de criterios del distrito penaliza la falta de justificación razonada. No basta con el resultado correcto.
Tips para aprobar la EvAU de Matemáticas II en Madrid
- Domina los teoremas de cálculo: Rolle, Bolzano, Weierstrass, Lagrange y Taylor caen casi todos los años en Madrid en al menos uno de los 8 ejercicios.
- Practica geometría 3D con coordenadas: planos, rectas, distancias, ángulos. Madrid pone siempre 2 ejercicios de geometría.
- Probabilidad condicional con árbol o tabla: cuando aparezca, dibuja siempre el árbol o la tabla 6×6 (caso dados) antes de calcular.
- Matrices con parámetro: discusión de sistemas, rango, determinantes con parámetro. Recurrente en Madrid.
- Integración por partes y por sustitución: domina LIATE; en límites con 1^∞, automatiza la conversión a e^(lim f·ln g).
Otros modelos PAU Matemáticas Madrid
Próximamente publicaremos los modelos de Matemáticas II Madrid de las convocatorias 2022 y 2023, más la extraordinaria de 2024. Mientras tanto:
- Hub PAU Comunidad de Madrid con fechas 2026 y ponderaciones por carrera.
- Modelos nacionales de PAU Matemáticas II — comparativa entre las 19 comunidades.
- ¿Necesitas repasar el temario? El solucionario de Matemáticas II tiene los ejercicios resueltos por unidad y editorial (Anaya, Santillana, SM, Oxford y Edelvives, entre otras).
El solucionario de Matemáticas II 2.º Bach te sirve para entender los temas; esta página te entrena para el formato examen PAU.
