Examen Matemáticas II Madrid 2023 Resuelto | Selectividad
El examen de Matemáticas II de la EvAU 2023 ordinaria de la Comunidad de Madrid mantuvo la estructura clásica del distrito: 8 ejercicios (4 en el bloque A, 4 en el bloque B) de los cuales el alumno responde solo 4 libremente. Cada ejercicio vale 2,5 puntos y la duración del examen es de 90 minutos.
Los cuatro grandes bloques del temario LOMLOE —Álgebra lineal, Análisis, Geometría del espacio y Probabilidad— aparecen repartidos en ambos bloques A y B. La elección libre permite mezclar 4 ejercicios de bloques distintos; es la estrategia más segura para minimizar el riesgo de un tema cojo.
En la convocatoria de junio de 2023 el distrito UCM repitió el formato de 2022 con ligeras variaciones en los enunciados y el mismo reparto de bloques temáticos. Esta página recoge la ficha completa, el análisis ejercicio a ejercicio y la estrategia recomendada. No incluimos resolución numérica: nos centramos en identificar el tipo de problema, el método y los errores típicos.
📑 Índice de contenidos
Ficha del examen
| CCAA | Comunidad de Madrid |
| Asignatura | Matemáticas II |
| Año | 2023 |
| Convocatoria | Ordinaria (junio) |
| Duración | 90 minutos |
| Estructura | Elegir 4 de 8 (libre entre A.1-A.4 y B.1-B.4) |
| Puntuación | 2,5 puntos por ejercicio, total 10 |
| Coordina | Universidades Públicas de la Comunidad de Madrid (UCM) |
📄 Descargar el examen oficial (PDF en UCM.es)
Aviso: enlazamos al PDF oficial alojado en la UCM. No alojamos copia. El desglose que sigue es nuestro análisis pedagógico del modelo, no incluye la corrección numérica oficial.
Análisis del examen Matemáticas II Madrid 2023
El modelo 2023 mantiene el formato 4+4: cuatro ejercicios en el bloque A, cuatro en el B, todos valen 2,5 puntos y se eligen 4 libremente. Los 4 bloques temáticos están representados en cada bloque, así que la elección «uno de cada tema» sigue siendo la más segura.
A.1 (camiones de 14, 24 y 28 toneladas que transportan 302 t) es un problema verbal clásico de sistemas. A.2 es la trampa del año: la función f(x) = ∛((x²−1)²) tiene picos en x=±1 donde la derivada no existe; quien aplique Rolle sin verificar la derivabilidad pierde el ejercicio.
Qué cayó: desglose por ejercicios
A.1 — Problema verbal
Bloque: Álgebra lineal · Dificultad: ⭐⭐⭐⭐ · Vale: 2,5 pts. Qué pide: tres tipos de camiones (A=14t, B=24t, C=28t) que transportan 302 toneladas en una obra.
Qué evalúa y cómo abordarlo: traducción de un enunciado verbal a un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas; resolución por Gauss. asigna variables claras a las magnitudes que pide el problema, traduce cada condición a una ecuación y comprueba que las tres son linealmente independientes antes de resolver.
Error típico: plantear el sistema con menos ecuaciones que incógnitas; confundir condiciones de proporcionalidad con sumas.
A.2 — f(x)=raíz cúbica de (x²-1)²
Bloque: Análisis · Dificultad: ⭐⭐⭐ · Vale: 2,5 pts. Qué pide: simetría, derivabilidad en x=1, extremos relativos y absolutos.
Qué evalúa y cómo abordarlo: derivabilidad por la definición o reglas operativas; extremos relativos mediante f'(x)=0 y estudio del signo; recta tangente y(x)=f(a)+f'(a)(x-a). deriva con cuidado y resuelve f'(x)=0 para encontrar candidatos a extremo. Estudia el signo de f’ alrededor de cada punto crítico para clasificarlo.
A.3 — Puntos A(1,-2,3), B(0,2,-1), C(2,1,0)
Bloque: Geometría 3D · Dificultad: ⭐⭐⭐ · Vale: 2,5 pts. Qué pide: triángulo y plano que lo contiene, corte con z=1, perímetro.
Qué evalúa y cómo abordarlo: manejo geométrico de puntos, rectas y planos en el espacio: ecuaciones paramétricas, generales, producto escalar y vectorial. identifica los datos disponibles (puntos, direcciones) y elige la ecuación más adecuada (paramétrica para rectas, general para planos).
A.4 — Sucesos A, B, C, D
Bloque: Probabilidad · Dificultad: ⭐⭐⭐ · Vale: 2,5 pts. Qué pide: independencia, intersección condicional, cálculo de P(D) usando probabilidad condicional inversa.
Qué evalúa y cómo abordarlo: probabilidad condicional P(A|B)=P(A∩B)/P(B); definición operativa de independencia P(A∩B)=P(A)·P(B); reglas de la unión. parte siempre de las definiciones: P(A|B), P(A∪B), independencia. Despeja las incógnitas con álgebra elemental sobre las identidades. Si te dan probabilidades condicionales, multiplícalas por la condicionante para obtener.
B.1 — Sistema 3×3 dependiente de parámetro a
Bloque: Álgebra lineal · Dificultad: ⭐⭐⭐ · Vale: 2,5 pts. Qué pide: discusión, resolver para a=3 (SCI) y a=5 (SCD).
Qué evalúa y cómo abordarlo: discusión de sistemas lineales en función de un parámetro mediante rangos (Teorema de Rouché-Frobenius); resolución por Gauss o. calcula primero el determinante de la matriz de coeficientes y estúdialo según el parámetro. Distingue los casos SCD (det ≠ 0), SCI o SI según el rango de.
B.2 — Función a trozos
Bloque: Análisis · Dificultad: ⭐⭐⭐ · Vale: 2,5 pts. Qué pide: continuidad en R, límite tipo 1^∞ en -∞, integral en [-1,0].
Qué evalúa y cómo abordarlo: continuidad y derivabilidad de funciones definidas a trozos; condiciones de empalme (límites laterales iguales al valor de la. iguala los límites laterales en cada punto de cambio al valor de la función para garantizar continuidad. Si te piden derivabilidad, además los límites de las derivadas laterales.
B.3 — Recta, plano y punto
Bloque: Geometría 3D · Dificultad: ⭐⭐⭐ · Vale: 2,5 pts. Qué pide: posición relativa e intersección; proyección ortogonal sobre el plano; punto simétrico respecto a la recta.
Qué evalúa y cómo abordarlo: proyección ortogonal de un punto sobre un plano/recta y simétrico; uso del vector normal y parametrización. para proyectar sobre un plano, plantea la recta que pasa por el punto y es perpendicular al plano (dirección = vector normal).
B.4 — Sardina del Pacífico con distribución normal (media 175 mm, desv. 25,75 mm)
Bloque: Probabilidad · Dificultad: ⭐⭐⭐ · Vale: 2,5 pts. Qué pide: porcentaje >16 cm, percentil del 18%, binomial sobre lotes de 10.
Qué evalúa y cómo abordarlo: distribución binomial B(n,p) y su aproximación a la normal cuando n·p y n·(1-p) son grandes; tipificación Z=(X-μ)/σ y. comprueba que n·p ≥ 5 y n·(1-p) ≥ 5 antes de aproximar. Calcula μ=n·p y σ=√(n·p·q). Tipifica y consulta la tabla N(0,1).
Cómo abordar el examen: estrategia recomendada
- Lee los 8 problemas en los primeros 5 minutos y marca cuáles dominas, cuáles dudas y cuáles evitarías.
- Cubre los grandes bloques temáticos: idealmente uno de cada. Así proteges la nota frente a un tema flojo.
- Empieza por el más fácil para ganar confianza y minutos. A.1 (sistema de ecuaciones) suele ser un buen punto de partida.
- Deja los ejercicios largos o de teoremas para el final: mejor con 2-3 problemas ya resueltos en la bandeja.
- Justifica cada paso: el criterio oficial del distrito penaliza la falta de justificación razonada.
Tips para aprobar la EvAU de Matemáticas II en Madrid
- Domina los teoremas de cálculo: Rolle, Bolzano, Weierstrass y Lagrange caen casi todos los años en Madrid.
- Practica geometría 3D con coordenadas: planos, rectas, distancias y ángulos. Madrid pone siempre 2 ejercicios de geometría.
- Probabilidad condicional con árbol o tabla: dibuja siempre el árbol antes de calcular.
- Matrices con parámetro: discusión por Rouché-Frobenius es estándar y recurrente.
- Integración por partes y por sustitución: domina LIATE y la conversión 1^∞ → e^(lim f·ln g).
Otros modelos PAU Matemáticas II Madrid
- Hub PAU Comunidad de Madrid con fechas 2026.
- Modelos nacionales de PAU Matemáticas II: comparativa entre las 19 comunidades.
- Para repasar temario: el solucionario de Matemáticas II con ejercicios por unidad y editorial.
El solucionario te sirve para entender los temas; esta página te entrena para el formato examen PAU.
