Examen Matemáticas II Cataluña 2023 Resuelto | Selectividad
El examen de Matemáticas II de las PAU 2023 ordinaria de Cataluña (Sèrie 1) introdujo en la cuestión 2 el concepto de matriz idempotente (CD=C, DC=D), una demostración corta poco habitual en otras CCAA. Junto a una cúbica con punto de inflexión en (1,0), un sistema con parámetro λ, un cercado adosado a muro y geometría 3D con planos perpendiculares. Estructura: 6 cuestiones, elegir 4.
Los bloques del temario Matemáticas II (análisis (derivadas, integrales, asíntotas), álgebra lineal (matrices, sistemas), geometría 3D y optimización) aparecen distribuidos en los 6 ejercicios del modelo 2023. Cuestiones identificables: Análisis, Álgebra matricial, Cálculo integral, Sistemas con parámetro, Optimización. La libre elección permite descartar el bloque más flojo y cubrir 4 de los presentes con seguridad.
Esta página recoge la ficha completa del examen oficial publicado por la Oficina d’Accés a la Universitat (Generalitat de Catalunya), el análisis ejercicio a ejercicio y la estrategia recomendada para esta convocatoria concreta. No incluimos resolución numérica: nos centramos en identificar el tipo de problema, el método aplicable, las fórmulas y los errores típicos. Recuerda la regla del examen: responder 4 de 6 cuestiones (libre elección).
📑 Índice de contenidos
Ficha del examen
| CCAA | Cataluña |
| Asignatura | Matemáticas II |
| Año | 2023 |
| Convocatoria | Ordinaria · Sèrie 1 |
| Duración | 90 minutos |
| Estructura | Responder 4 de 6 cuestiones (libre elección) |
| Puntuación | 2.5 puntos por ejercicio, total 10 |
| Coordina | Oficina d’Accés a la Universitat — Generalitat de Catalunya |
📄 Descargar el examen oficial (PDF en gencat.cat)
Aviso: enlazamos al PDF oficial alojado en gencat.cat. No alojamos copia. El desglose que sigue es nuestro análisis pedagógico del modelo, no incluye la corrección numérica oficial.
Análisis del examen Matemáticas II Cataluña 2023
El modelo 2023 de Matemáticas II en Cataluña presenta 6 ejercicios a elegir 4, con 90 minutos para resolverlos. La cobertura temática del año fue: Análisis (cúbica), Álgebra matricial, Cálculo integral, Sistemas con parámetro, Optimización, Geometría 3D. Por bloque, este modelo destaca por la presencia de análisis (cúbica) en la primera cuestión y geometría 3d en la última.
Particularidades de la convocatoria 2023: Modelo Cataluña 2023 Mat II: la cuestión 2 introduce el concepto de matriz idempotente (no aparece en Madrid), señal del peso de demostraciones cortas. Cuestión 5 (optimización del cercado) es contextual y verbal — patrón típico catalán. Cuestión 6 es geometría 3D completa (perpendicularidad doble + intersección + distancia) en una sola cuestión, exigiendo dominio integrado del tema.
Qué cayó: desglose por ejercicios
1 — Coeficientes a,b,c,d de f(x)=ax³+bx²+cx+d dados
Bloque: Análisis · Dificultad: ⭐⭐⭐ · Vale: 2.5 pts.
Qué pide: Coeficientes a,b,c,d de f(x)=ax³+bx²+cx+d dados: punto inflexión (1,0) con tangente y=−….
Qué evalúa: coeficientes de un polinomio de grado 3 a partir de condiciones (punto, tangente, extremo).
Cómo abordarlo: plantea un sistema 4×4 con f(x₀)=y₀, f'(x₀)=pendiente, f»(x₀)=0 según pidan punto de inflexión o extremo.
2 — Productos A·B, B·A
Bloque: Álgebra matricial · Dificultad: ⭐⭐⭐⭐ · Vale: 2.5 pts.
Qué pide: Productos A·B, B·A.
Qué evalúa: operaciones con matrices y demostración de propiedades (idempotencia, conmutatividad).
Cómo abordarlo: comprueba dimensiones antes de multiplicar; para demostraciones, parte de la identidad dada y manipula con cuidado.
Error típico: confundir idempotencia (M²=M) con involución (M²=I); no comprobar dimensiones antes de multiplicar.
3 — Función f tal que f'(x) dada pasa por (0,3)
Bloque: Cálculo integral · Dificultad: ⭐⭐⭐ · Vale: 2.5 pts.
Qué pide: Función f tal que f'(x) dada pasa por (0,3): calcular f(x) e recta tangente a f'(x) en x=3.
Qué evalúa: integral definida e indefinida y aplicaciones (áreas).
Cómo abordarlo: aplica la regla de Barrow F(b)−F(a); recuerda añadir constante en indefinidas.
4 — Sistema lineal con parámetro λ
Bloque: Sistemas con parámetro · Dificultad: ⭐⭐⭐ · Vale: 2.5 pts.
Qué pide: Sistema lineal con parámetro λ: discusión.
Qué evalúa: discusión de un sistema lineal según el valor de un parámetro.
Cómo abordarlo: estudia los menores de A y A|B; los valores que anulan determinantes definen los casos SI/SCI/SCD.
5 — Cercado rectangular de 8 m² adosado a muro a 2,5 €/m
Bloque: Optimización · Dificultad: ⭐⭐⭐ · Vale: 2.5 pts.
Qué pide: Cercado rectangular de 8 m² adosado a muro a 2,5 €/m: dimensiones de coste mínimo.
Qué evalúa: cálculo de óptimos con restricciones geométricas (área, perímetro, volumen).
Cómo abordarlo: expresa la función a optimizar en una sola variable usando la restricción; deriva, iguala a 0 y comprueba con f» o tabla de signos.
6 — Planos π1
Bloque: Geometría 3D · Dificultad: ⭐⭐⭐⭐⭐ · Vale: 2.5 pts.
Qué pide: Planos π1: x+y=3, π2: x−z=−2: plano π3 perpendicular a ambos que pasa por P=(4,1,2).
Qué evalúa: posiciones relativas, perpendicularidad y lugares geométricos en el espacio.
Cómo abordarlo: usa vectores directores y normales; para mediatriz aplica |PA|=|PB| y obtienes el plano perpendicular al segmento AB.
Error típico: no justificar el paso clave (discusión, signo, condición de existencia): el corrector penaliza la solución correcta sin justificación.
Cómo afrontar este modelo 2023 (LOMCE)
El modelo Cataluña 2023 de Matemáticas II (responder 4 de 6 cuestiones (libre elección)) exige una estrategia adaptada a esta convocatoria concreta:
- Empieza con la cuestión 1 (Coeficientes a,b,c,d de f(x)=ax³+bx²+cx+d dados): aporta los primeros 2.5 puntos con un esquema mecánico (discusión Rouché-Frobenius / Barrow / definición). Resérvalo solo para los primeros minutos.
- Sigue con la cuestión 3 (Función f tal que f'(x) dada pasa por (0,3)): si la nomenclatura/método está claro, son 2.5 puntos cómodos en menos de 15 minutos. Es tu segundo seguro de la nota.
- Como tercera opción aborda con la cuestión 4 (Sistema lineal con parámetro λ): tu seguro de bloque (asegúrate de cubrir un bloque distinto a los dos primeros). Cuida la justificación de cada paso, OAU exige razonar.
- Reserva con la cuestión 6 (Planos π1) para cuando estés caliente: exige máximo cuidado (demostración / condicional inversa / fenómeno multietapa). No te lances sin tener los otros tres atados.
- Gestión del tiempo: con 90 minutos para responder 4 de los 6 ejercicios planteados, reserva ~20 minutos por ejercicio + 10 de revisión. Si te atascas más de 25 minutos en uno, salta y vuelve al final..
Lecciones del modelo Cataluña 2023 (Matemáticas II)
- La cuestión 2 (Productos A·B, B·A) obliga a entender la idempotencia (M²=M) y conmutación. No suele aparecer en Madrid: 2,5 puntos extra si llevas demostraciones cortas.
- La cuestión 1 (Coeficientes a,b,c,d de f(x)=ax³+bx²+cx+d dados: punto inflexión (1,0) con tangente y=−3x+3 y extremo relativo en x=0) exige montar un sistema 4×4 con f(x), f'(x) y f»(x) en los puntos dados. La condición de punto de inflexión es f»(x₀)=0.
- La cuestión 3 (Función f tal que f'(x) dada pasa por (0,3): calcular f(x) e recta tangente a f'(x) en x=3) aplica Barrow F(b)−F(a) tras hallar primitivas. Si el integrando es polinómico, usa la regla de la potencia; si racional, descompón en fracciones simples.
- La cuestión 4 (Sistema lineal con parámetro λ: discusión) discute según el parámetro (rangos de A y A|B con menores). Los valores que anulan determinantes definen SI/SCI/SCD.
- La cuestión 5 (Cercado rectangular de 8 m² adosado a muro a 2,5 €/m: dimensiones de coste mínimo) minimiza coste de un cercado adosado a muro (8 m², 2,5 €/m). El muro elimina un lado: A=x·y con coste=2x+y; sustituye y deriva.
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El solucionario te sirve para entender los temas; esta página te entrena para el formato examen PAU.
