▷ Solucionario Matemáticas 2 ESO Santillana PDF 2026
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Este solucionario del libro de Matemáticas 2 ESO Santillana (serie Saber Hacer Contigo) incluye todos los ejercicios resueltos paso a paso. En 2º de la ESO se da el salto a los números racionales, las ecuaciones de primer grado y la geometría más formal — tres bloques donde se concentran la mayoría de suspensos. Aquí encontrarás la resolución detallada de cada tipo de problema para que puedas autocorregirte y llegar al examen sin dudas.
En este solucionario de Matemáticas 2 ESO Santillana encontrarás ejercicios interactivos con autocorrección instantánea, resúmenes de teoría por tema y soluciones paso a paso con explicación detallada. Cada ejercicio incluye autoevaluación con pistas progresivas y una barra de progreso para que controles cuánto llevas de cada tema. Todo el contenido está adaptado al currículo oficial de 2º ESO.
Soluciones del libro Matemáticas 2 ESO Santillana 2026 PDF
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Tema 1 — Números enteros y divisibilidad
Los números enteros (ℤ) incluyen positivos, negativos y el cero. En 2º ESO profundizarás en las operaciones combinadas con paréntesis, corchetes y la jerarquía de operaciones. La divisibilidad (múltiplos, divisores, MCD y mcm) es la base para trabajar con fracciones en los temas siguientes.
Conceptos clave:
- Valor absoluto: |−7| = 7 (distancia al cero, siempre positiva)
- Regla de signos: (+)(+) = +, (−)(−) = +, (+)(−) = −, (−)(+) = −
- Jerarquía: 1º paréntesis/corchetes → 2º potencias/raíces → 3º multiplicar/dividir → 4º sumar/restar
- MCD: el mayor número que divide a dos o más números. Se halla descomponiendo en primos y tomando los factores comunes con menor exponente
- mcm: el menor múltiplo común. Se halla tomando todos los factores primos con mayor exponente
Calcula: (−5) + (+8) − (−3)
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Calcula: (−3) × (+4) × (−2)
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Calcula: 3 × (−4) − (−2)² + 10 ÷ (−5)
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Calcula: [4 − (−3)²] × (−2)
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Calcula el MCD de 36 y 48.
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Calcula el mcm de 12 y 18.
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Calcula: 5 × [−1 − (−6)] − (−3)³
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Tres amigos se reparten 120 caramelos. El primero recibe 1/3 del total, el segundo recibe 1/4 del total. ¿Cuántos caramelos recibe el tercero?
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Tema 2 — Fracciones y números racionales
Las fracciones representan partes de un todo. En 2º ESO trabajarás con operaciones combinadas, fracciones equivalentes, fracción irreducible y la conversión entre fracciones y decimales.
Conceptos clave:
- Fracción irreducible: dividir numerador y denominador por su MCD
- Suma/resta: buscar el mcm de los denominadores, convertir y sumar numeradores
- Multiplicación: numerador × numerador, denominador × denominador
- División: invertir la segunda fracción y multiplicar
Tema 3 — Potencias y raíces
Las potencias son una forma abreviada de escribir multiplicaciones repetidas: an = a × a × … (n veces). Las raíces cuadradas son la operación inversa de elevar al cuadrado. En 2º ESO dominarás las propiedades de las potencias (producto, cociente, potencia de potencia) y las potencias de exponente negativo, que convierten la base en fracción. También aprenderás a simplificar raíces descomponiendo el radicando en factores primos.
Conceptos clave:
- Producto de potencias con misma base: am × an = am+n
- Cociente de potencias con misma base: am ÷ an = am−n
- Potencia de una potencia: (am)n = am×n
- Exponente negativo: a−n = 1/an
- Raíz cuadrada: √a es el número positivo que elevado al cuadrado da a
Calcula: 2⁵
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Calcula: (−3)⁴
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Simplifica y calcula: 2³ × 2⁴
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Simplifica y calcula: 5⁶ ÷ 5⁴
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Simplifica y calcula: (3²)³
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Calcula: √144
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Expresa en forma de fracción: 2⁻³
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Calcula: 3⁴ × 3⁻² ÷ 3
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Tema 4 — Proporcionalidad numérica
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar una por un número, la otra se multiplica por el mismo número (más cantidad → más precio). Son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una, la otra se divide (más trabajadores → menos días). La regla de tres es el método básico para resolver problemas de proporcionalidad. Los porcentajes son proporciones sobre 100 y se usan constantemente en la vida real: descuentos, IVA, notas de examen.
Conceptos clave:
- Regla de tres directa: a/b = c/x → x = b×c/a
- Regla de tres inversa: a×b = c×x → x = a×b/c
- Porcentaje: n% de X = X × n/100
- Aumento porcentual: nuevo = original × (1 + n/100)
- Disminución porcentual: nuevo = original × (1 − n/100)
Si 4 kg de naranjas cuestan 6 €, ¿cuánto cuestan 9 kg?
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Calcula el 25% de 360.
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3 pintores tardan 12 días en pintar una casa. ¿Cuántos días tardarán 4 pintores?
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Un artículo cuesta 80 € y le aplican un 15% de aumento. ¿Cuál es el precio final?
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Un producto pasa de costar 40 € a 50 €. ¿Qué porcentaje ha aumentado?
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Si 5 kg de café cuestan 12 €, ¿cuánto cuestan 8 kg?
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6 obreros tardan 10 días en hacer una obra. ¿Cuántos días tardarán 15 obreros?
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Tema 5 — Expresiones algebraicas
El álgebra usa letras (variables) para representar números desconocidos. Un monomio es un producto de un número (coeficiente) por una o más variables elevadas a exponentes naturales: 3x², −5ab. Un polinomio es una suma de monomios. En 2º ESO aprenderás a operar con monomios y polinomios, aplicar las identidades notables (cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia, suma por diferencia) y a sacar factor común, herramientas esenciales para resolver ecuaciones.
Conceptos clave:
- Monomio: coeficiente × parte literal (ej: 3x², −2ab³)
- Monomios semejantes: misma parte literal → se pueden sumar/restar
- Cuadrado de una suma: (a + b)² = a² + 2ab + b²
- Cuadrado de una diferencia: (a − b)² = a² − 2ab + b²
- Factor común: ab + ac = a(b + c)
Calcula el valor de 3x + 2x cuando x = 4.
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Multiplica: 3x² × 2x³
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Desarrolla: (x + 5)². Escribe solo el resultado sin paréntesis.
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Saca factor común: 6x² + 9x. Escribe el resultado factorizado.
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Simplifica: 4x³ ÷ 2x
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Desarrolla: (3x − 2)². Escribe solo el resultado.
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Tema 6 — Ecuaciones de primer grado
Una ecuación de primer grado es una igualdad con una incógnita (normalmente x) que aparece con exponente 1. Resolverla significa encontrar el valor de x que hace que la igualdad sea cierta. El método consiste en aislar la x a un lado: pasar los términos con x a la izquierda y los números a la derecha, cambiando de signo al cruzar el =. Si hay paréntesis, primero se desarrollan. Si hay fracciones, se multiplica todo por el mcm de los denominadores para eliminarlas.
Conceptos clave:
- Trasponer términos: lo que suma pasa restando y viceversa
- Desarrollar paréntesis: a(b + c) = ab + ac
- Eliminar denominadores: multiplicar toda la ecuación por el mcm
- Comprobar la solución: sustituir el resultado en la ecuación original
Resuelve: 3x + 7 = 22
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Resuelve: 5x − 3 = 2x + 9
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Resuelve: 2(x + 3) = x + 10
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Resuelve: x/2 + x/3 = 5
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Resuelve: 3(2x − 1) − 2(x + 4) = 7
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Resuelve: (x+1)/4 − (x−2)/3 = 1
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Un padre tiene 40 años y su hijo 12. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el triple que la del hijo?
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Tema 7 — Sistemas de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones tiene dos ecuaciones con dos incógnitas (x e y). La solución es el par de valores que satisface ambas ecuaciones a la vez. Los métodos de resolución son: sustitución (despejar una variable en una ecuación y sustituirla en la otra), reducción (sumar o restar las ecuaciones para eliminar una variable) e igualación (despejar la misma variable en ambas e igualar). En 2º ESO trabajarás sobre todo con sistemas lineales (las incógnitas tienen exponente 1).
Conceptos clave:
- Método de sustitución: despejar x (o y) en una ecuación y sustituir en la otra
- Método de reducción: sumar/restar ecuaciones para eliminar una incógnita
- Comprobación: el par (x, y) debe satisfacer AMBAS ecuaciones
- Sistemas compatibles: tienen una solución (las rectas se cortan en un punto)
Resuelve por reducción: x + y = 10, x − y = 4. Escribe x.
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Resuelve: 2x + y = 7, x − y = 2. Escribe x.
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Resuelve: 3x + 2y = 16, x + 2y = 8. Escribe x.
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La suma de dos números es 12 y su diferencia es 4. ¿Cuál es el mayor?
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Resuelve por sustitución: 2x + 3y = 12, 4x + y = 14. Escribe x.
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Resuelve: x/2 + y/3 = 4, x − y = 3. Escribe x.
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Tema 8 — Teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras es una de las herramientas más importantes de la geometría: en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado más largo, opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (catetos): c² = a² + b². Esto permite calcular un lado desconocido si se conocen los otros dos. También se usa para comprobar si un triángulo es rectángulo y para calcular diagonales de figuras planas.
Conceptos clave:
- Hipotenusa: c = √(a² + b²) — el lado más largo, opuesto al ángulo de 90°
- Cateto: a = √(c² − b²) — se despeja restando
- Ternas pitagóricas: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17) — se cumplen exacto
- Comprobación: un triángulo es rectángulo si a² + b² = c²
Un triángulo rectángulo tiene catetos de 3 cm y 4 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
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Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos 5 cm y 12 cm.
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La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm y un cateto mide 6 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto?
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Catetos de 8 cm y 15 cm. ¿Hipotenusa?
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Una escalera de 5 m se apoya en una pared. Su base está a 3 m de la pared. ¿A qué altura llega?
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¿Es rectángulo un triángulo con lados 7, 24 y 25 cm? Escribe si o no.
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Un rectángulo mide 6 cm × 8 cm. ¿Cuánto mide su diagonal?
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Tema 9 — Semejanza y escalas
Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero distinto tamaño: sus ángulos son iguales y sus lados son proporcionales. La razón de semejanza (k) es el cociente entre lados correspondientes. Las escalas son un caso práctico de semejanza: en un mapa a escala 1:50.000, cada centímetro del mapa representa 50.000 cm (500 m) en la realidad. Para calcular distancias reales se multiplica la medida del plano por el denominador de la escala.
Conceptos clave:
- Razón de semejanza: k = lado de la figura grande / lado de la figura pequeña
- Lados proporcionales: a/a’ = b/b’ = c/c’ = k
- Escala: 1:N → 1 cm en plano = N cm en la realidad
- Áreas: si la razón de semejanza es k, la razón de áreas es k²
En un plano a escala 1:500, una pared mide 4 cm. ¿Cuántos metros mide en la realidad?
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Una habitación real mide 15 m. En un plano a escala 1:200, ¿cuántos cm medirá?
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Dos triángulos semejantes tienen razón de semejanza 3. Si el lado menor del pequeño mide 5 cm, ¿cuánto mide el correspondiente del grande?
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Dos triángulos semejantes tienen lados 4, 6 y 8 cm (el pequeño) y x, 9 y 12 cm (el grande). ¿Cuánto vale x?
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Si la razón de semejanza entre dos figuras es 2, ¿cuántas veces mayor es el área de la figura grande?
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En un mapa a escala 1:50.000, dos ciudades están a 8 cm. ¿Cuántos km hay entre ellas en la realidad?
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Tema 10 — Cuerpos geométricos
Los cuerpos geométricos son figuras tridimensionales. Los poliedros tienen todas sus caras planas (prismas, pirámides, cubo) y los cuerpos de revolución tienen alguna superficie curva (cilindro, cono, esfera). La fórmula de Euler relaciona caras, vértices y aristas de cualquier poliedro convexo: V − A + C = 2. En 2º ESO identificarás y clasificarás estos cuerpos y calcularás sus elementos.
Conceptos clave:
- Poliedros regulares: tetraedro (4 caras), cubo (6), octaedro (8), dodecaedro (12), icosaedro (20)
- Prisma: dos bases iguales y caras laterales rectangulares. Caras = n + 2
- Pirámide: una base y caras laterales triangulares. Vértices = n + 1
- Fórmula de Euler: Vértices − Aristas + Caras = 2
¿Cuántas aristas tiene un cubo?
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¿Cuántas caras tiene un prisma pentagonal?
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¿Cuántos vértices tiene una pirámide de base cuadrada?
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Un prisma hexagonal tiene 12 vértices y 8 caras. ¿Cuántas aristas tiene? (Usa Euler)
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¿Cuántas aristas tiene una pirámide triangular (tetraedro)?
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Tema 11 — Áreas y volúmenes
El volumen mide el espacio que ocupa un cuerpo y se expresa en unidades cúbicas (cm³, m³, litros). El área total es la suma de las áreas de todas las caras. Las fórmulas esenciales son: prisma V = Área base × altura; pirámide V = (Área base × altura)/3; cilindro V = π r² h; esfera V = (4/3)π r³. Un litro equivale a 1 dm³ = 1000 cm³, dato clave para problemas de capacidad.
Conceptos clave:
- Volumen del prisma/cilindro: V = Área de la base × altura
- Volumen de la pirámide/cono: V = (Área de la base × altura) / 3
- Volumen de la esfera: V = (4/3) × π × r³
- Área lateral del cilindro: A = 2πrh (un rectángulo enrollado)
- 1 litro = 1 dm³ = 1000 cm³
Calcula el volumen de un cubo de lado 5 cm. (en cm³)
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Un prisma rectangular mide 4 cm × 3 cm × 6 cm. ¿Cuál es su volumen? (en cm³)
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Calcula el área total de un cubo de lado 4 cm. (en cm²)
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Calcula el volumen de una pirámide de base cuadrada de lado 6 cm y altura 9 cm. (en cm³)
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Un cilindro tiene radio 5 cm y altura 8 cm. Calcula su volumen. Usa π ≈ 3,14. (en cm³, sin decimales)
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Calcula el volumen de una esfera de radio 3 cm. Usa π ≈ 3,14. Redondea al entero más cercano. (en cm³)
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Un acuario tiene forma de prisma rectangular de 50 cm × 30 cm × 40 cm. ¿Cuántos litros caben?
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Tema 12 — Funciones y gráficas
Una función es una relación que asigna a cada valor de x un único valor de y: y = f(x). La gráfica de una función es el conjunto de puntos (x, y) en el plano cartesiano. La función más básica es la función lineal y = mx + n, cuya gráfica es una recta. La pendiente (m) indica cuánto sube o baja la recta por cada unidad que avanza en x: positiva sube, negativa baja, cero horizontal. La ordenada en el origen (n) es el punto donde la recta corta el eje Y.
Conceptos clave:
- Función lineal: y = mx + n (gráfica: una recta)
- Pendiente: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) — inclinación de la recta
- Ordenada en el origen: n = valor de y cuando x = 0
- Dominio: valores de x para los que la función está definida
- Imagen/Rango: valores de y que toma la función
Si f(x) = 2x + 3, calcula f(4).
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Si f(x) = x² − 1, calcula f(3).
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Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1, 2) y (3, 6).
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En la función y = 3x − 2, ¿cuál es la pendiente?
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La función f(x) = −x + 5, ¿en qué punto corta el eje X? (Escribe el valor de x)
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Halla la ecuación de la recta que pasa por (1, 3) con pendiente 2. Escribe en forma y=mx+n.
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Tema 13 — Estadística
La estadística estudia cómo recoger, organizar e interpretar datos. Las medidas de centralización resumen los datos en un solo valor representativo: la media aritmética (suma de todos los valores dividida entre el número de datos), la mediana (valor central al ordenar los datos) y la moda (valor que más se repite). Las medidas de dispersión indican cuánto se alejan los datos de la media: la varianza (media de las desviaciones al cuadrado) y la desviación típica (raíz cuadrada de la varianza).
Conceptos clave:
- Media: x̄ = (suma de todos los valores) / n
- Mediana: valor central de los datos ordenados (si n es par, media de los dos centrales)
- Moda: valor que más se repite (puede haber varias o ninguna)
- Varianza: σ² = Σ(xᵢ − x̄)² / n
- Desviación típica: σ = √varianza
Calcula la media de: 4, 6, 8, 10, 2.
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Halla la mediana de: 3, 7, 1, 9, 5.
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¿Cuál es la moda de: 2, 3, 3, 5, 7, 3, 8?
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Calcula la varianza de los datos: 4, 6, 8, 10, 2. (La media es 6)
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Con los datos anteriores (varianza = 8), calcula la desviación típica. Redondea a 2 decimales.
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Un alumno saca 7 en el examen (peso 30%), 8 en trabajos (peso 20%) y 6 en participación (peso 50%). ¿Cuál es su nota media ponderada? (con 1 decimal)
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Tema 14 — Probabilidad
La probabilidad mide cuánto de probable es que ocurra un suceso, con valores entre 0 (imposible) y 1 (seguro). Se calcula como P = casos favorables / casos posibles (regla de Laplace), siempre que todos los resultados sean igualmente probables. El suceso complementario de A es «no A»: P(no A) = 1 − P(A). Dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta al otro, y entonces P(A y B) = P(A) × P(B).
Conceptos clave:
- Regla de Laplace: P(A) = casos favorables / casos posibles
- Suceso seguro: P = 1 | Suceso imposible: P = 0
- Complementario: P(no A) = 1 − P(A)
- Sucesos independientes: P(A y B) = P(A) × P(B)
- Sucesos incompatibles: P(A o B) = P(A) + P(B)
Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número par? (como fracción simplificada)
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En una bolsa hay 4 bolas rojas y 6 azules. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una roja? (como fracción simplificada)
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Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de NO sacar un 6? (como fracción)
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La probabilidad de que llueva es 0,3 y de que haya atasco 0,5. Si son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que llueva Y haya atasco?
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P(aprobar mates) = 0,2 y P(aprobar lengua) = 0,3. Si son incompatibles (no se puede aprobar ambas a la vez), ¿cuál es P(aprobar mates O lengua)?
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Se lanza una moneda 3 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 caras? (como fracción)
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Cómo usar este solucionario para aprobar
La técnica del bolígrafo rojo es la más efectiva: haz tus ejercicios en azul, intenta resolver cada problema del módulo interactivo, y cuando veas la solución, anota en rojo dónde fallaste. Ese proceso de identificar exactamente tu error es lo que evita que lo repitas en el examen real.
Los ejercicios resueltos están ordenados de menor a mayor dificultad dentro de cada tema. Si un tema se te resiste, empieza por los básicos (verdes) y avanza hacia los avanzados (rojos) cuando domines los primeros.