Solucionario completo del libro de Matemáticas 2 ESO Anaya (serie Operación Mundo) con todos los ejercicios resueltos paso a paso. En este curso se consolidan los números enteros y fracciones, se introducen las ecuaciones de primer y segundo grado y se trabaja la geometría con el teorema de Pitágoras y la semejanza. Cada ejercicio incluye la resolución detallada para que puedas preparar tus exámenes con total confianza.
En este solucionario de Matemáticas 2 ESO Anaya encontrarás ejercicios interactivos con autocorrección instantánea, resúmenes de teoría por tema y soluciones paso a paso con explicación detallada. Cada ejercicio incluye autoevaluación con pistas progresivas y una barra de progreso para que controles cuánto llevas de cada tema. Todo el contenido está adaptado al currículo oficial de 2º ESO.
👆 Haz click en un tema del índice de arriba para ver los ejercicios resueltos, la teoría resumida y la autoevaluación interactiva.
Tema 1 — Números enteros
Los números enteros (ℤ) amplían los naturales incluyendo los negativos y el cero. En este tema se repasan las operaciones combinadas con sumas, restas, productos y divisiones de enteros, el valor absoluto y las potencias con base entera. También se trabajan el MCD y el mcm como herramientas fundamentales para los temas siguientes.
Conceptos clave:
Valor absoluto: |−9| = 9; es la distancia de un número al cero en la recta numérica
Regla de signos en la multiplicación: (+)(+) = +, (−)(−) = +, (+)(−) = −, (−)(+) = −
Potencias de base entera: (−2)⁴ = 16 (exponente par → positivo), (−2)³ = −8 (exponente impar → negativo)
MCD: mayor divisor común de dos o más números; se obtiene descomponiendo en primos y eligiendo factores comunes con menor exponente
mcm: menor múltiplo común; se obtiene tomando todos los factores primos con el mayor exponente
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Ejercicio 1Básico
Calcula: (−7) + (+5) − (−4)
💡 Pista: Elimina los paréntesis aplicando la regla de signos: menos por menos da más.
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Paso 1Eliminamos paréntesis: −7 + 5 + 4
Paso 2Sumamos los positivos: 5 + 4 = 9
Paso 3Restamos el negativo: 9 − 7 = **2**
Ejercicio 2Básico
Calcula: (−4) × (+3) × (−1)
💡 Pista: Cuenta los signos negativos: si son un número par, el resultado es positivo.
⚠️ Error frecuente: (−5)² = +25, NO −25. El paréntesis incluye el signo en la base.
Ejercicio 4Intermedio
Calcula el MCD de 28 y 42.
💡 Pista: Descompón en factores primos: 28 = 2² × 7 y 42 = 2 × 3 × 7. Toma los comunes con menor exponente.
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Paso 128 = 2² × 7
Paso 242 = 2 × 3 × 7
Paso 3Factores comunes con menor exponente: 2¹ × 7¹ = 2 × 7 = **14**
Ejercicio 5Intermedio
Calcula el mcm de 15 y 20.
💡 Pista: Descompón en primos y toma todos los factores con el mayor exponente.
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Paso 115 = 3 × 5
Paso 220 = 2² × 5
Paso 3Todos los factores con mayor exponente: 2² × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = **60**
Ejercicio 6Avanzado
Calcula: 3 × [−2 − (−8)] − (−2)⁴
💡 Pista: Primero resuelve el corchete: −2 − (−8) = −2 + 8 = 6. Luego (−2)⁴ = 16.
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Paso 1Corchete: −2 − (−8) = −2 + 8 = 6
Paso 2Multiplicación: 3 × 6 = 18
Paso 3Potencia: (−2)⁴ = 16 (exponente par → positivo)
Paso 4Resta: 18 − 16 = **2**
⚠️ Cuidado: (−2)⁴ = 16 porque el exponente es par. Si fuese (−2)³ = −8.
Tema 2 — Fracciones y decimales
Las fracciones permiten expresar partes de un todo y son fundamentales para el álgebra posterior. En este tema se trabajan las fracciones equivalentes, la fracción irreducible, las operaciones con fracciones (suma, resta, multiplicación, división) y la conversión entre fracciones y decimales.
Conceptos clave:
Fracción irreducible: se obtiene dividiendo numerador y denominador por su MCD
Suma/resta de fracciones: se busca el mcm de los denominadores, se convierte y se suman/restan los numeradores
Multiplicación: numerador × numerador y denominador × denominador
División: se invierte la segunda fracción y se multiplica
Decimal a fracción: 0,125 = 125/1000; simplificando se obtiene la fracción generatriz
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Ejercicio 1Básico
Simplifica la fracción 20/32 hasta obtener la fracción irreducible.
💡 Pista: Calcula el MCD de 20 y 32 (es 4) y divide numerador y denominador por él.
Las potencias son una forma abreviada de escribir multiplicaciones repetidas. En este tema se trabajan las propiedades de las potencias con exponentes enteros (producto, cociente, potencia de potencia), la notación científica para números muy grandes o muy pequeños, y el cálculo de raíces cuadradas exactas y aproximadas.
Conceptos clave:
Producto de potencias (misma base): aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ
Cociente de potencias (misma base): aⁿ ÷ aᵐ = aⁿ⁻ᵐ
Potencia de potencia: (aⁿ)ᵐ = aⁿ×ᵐ
Notación científica: un número entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10
Raíz cuadrada: √a es el número positivo que elevado al cuadrado da a
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Ejercicio 1Básico
Calcula 3⁴.
💡 Pista: Multiplica 3 por sí mismo 4 veces: 3 × 3 × 3 × 3.
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Paso 13⁴ = 3 × 3 × 3 × 3
Paso 23 × 3 = 9
Paso 39 × 3 = 27
Paso 427 × 3 = **81**
Ejercicio 2Básico
Calcula (−2)⁵.
💡 Pista: La base es negativa y el exponente es impar, así que el resultado será negativo.
Simplifica usando propiedades de potencias: 2⁵ × 2³ ÷ 2⁶.
💡 Pista: Aplica la propiedad del producto (se suman exponentes) y del cociente (se restan).
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Paso 1Producto: 2⁵ × 2³ = 2⁵⁺³ = 2⁸
Paso 2Cociente: 2⁸ ÷ 2⁶ = 2⁸⁻⁶ = 2²
Paso 32² = **4**
Ejercicio 4Intermedio
Expresa en notación científica: 5 200 000.
💡 Pista: Mueve la coma decimal hasta que quede un número entre 1 y 10, y cuenta cuántas posiciones has movido.
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Paso 1Colocamos la coma tras el primer dígito significativo: 5,2
Paso 2Contamos las posiciones movidas: 6 posiciones a la izquierda
Paso 3Resultado: **5,2 × 10⁶**
Ejercicio 5Intermedio
Calcula: (3²)³ × 3⁰.
💡 Pista: Aplica potencia de potencia: (aⁿ)ᵐ = aⁿ×ᵐ. Recuerda que cualquier número elevado a 0 es 1.
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Paso 1Potencia de potencia: (3²)³ = 3²ˣ³ = 3⁶
Paso 23⁰ = 1
Paso 33⁶ × 1 = 3⁶ = **729**
Ejercicio 6Avanzado
La distancia de la Tierra al Sol es aproximadamente 1,496 × 10⁸ km. La luz recorre 3 × 10⁵ km por segundo. ¿Cuántos segundos tarda la luz en llegar del Sol a la Tierra? Expresa el resultado en notación científica.
💡 Pista: Divide la distancia entre la velocidad: (1,496 × 10⁸) ÷ (3 × 10⁵).
⚠️ Este es un dato real: la luz tarda unos 8 minutos y 20 segundos en llegar del Sol a la Tierra.
Tema 4 — Proporcionalidad numérica
La proporcionalidad estudia la relación entre magnitudes que varían de forma constante. Si al aumentar una magnitud la otra también aumenta en la misma proporción, hablamos de proporcionalidad directa; si al aumentar una la otra disminuye, de proporcionalidad inversa. Los porcentajes son un caso particular de proporcionalidad directa.
Conceptos clave:
Razón: cociente entre dos cantidades que se comparan, por ejemplo 3:5 significa 3/5
Proporcionalidad directa: a/b = c/d (regla de tres directa)
Proporcionalidad inversa: a × b = c × d (regla de tres inversa)
Porcentaje: calcular el n% de una cantidad es multiplicar por n/100
Aumentos y descuentos: precio final = precio × (1 ± porcentaje/100)
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Ejercicio 1Básico
Si 3 kg de manzanas cuestan 4,50 €, ¿cuánto cuestan 5 kg?
💡 Pista: Es proporcionalidad directa. Calcula el precio de 1 kg y luego multiplica por 5.
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Paso 1Precio de 1 kg: 4,50 ÷ 3 = 1,50 €
Paso 2Precio de 5 kg: 1,50 × 5 = **7,50 €**
Ejercicio 2Básico
Calcula el 15% de 240 €.
💡 Pista: Multiplica 240 por 15 y divide entre 100.
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Paso 115% de 240 = 240 × 15/100
Paso 2240 × 15 = 3600
Paso 33600 ÷ 100 = **36 €**
Ejercicio 3Intermedio
Un pantalón cuesta 65 € y tiene un descuento del 15%. ¿Cuál es el precio final?
💡 Pista: Calcula el descuento (15% de 65) y réstalo del precio original.
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Paso 1Descuento: 65 × 15/100 = 65 × 0,15 = 9,75 €
Paso 2Precio final: 65 − 9,75 = **55,25 €**
⚠️ También se puede calcular directamente: 65 × 0,85 = 55,25 €.
Ejercicio 4Intermedio
Si 6 obreros tardan 10 días en hacer una obra, ¿cuántos días tardarán 4 obreros?
💡 Pista: Es proporcionalidad inversa: más obreros → menos días. Aplica a × b = c × d.
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Paso 1Proporcionalidad inversa: obreros × días = constante
Paso 26 × 10 = 4 × d
Paso 360 = 4d
Paso 4d = 60 ÷ 4 = **15 días**
Ejercicio 5Avanzado
Un artículo costaba 80 €. Primero le aplican un aumento del 8% y después un descuento del 10%. ¿Cuál es el precio final?
💡 Pista: Calcula el precio tras el aumento y luego aplica el descuento sobre el nuevo precio.
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Paso 1Aumento del 8%: 80 × 1,08 = 86,40 €
Paso 2Descuento del 10% sobre 86,40: 86,40 × 0,90 = **77,76 €**
⚠️ Atención: un aumento del 8% seguido de un descuento del 10% NO es lo mismo que un descuento del 2%. El resultado final es menor que el precio original.
Ejercicio 6Avanzado
En una mezcla, la razón de agua a zumo es 3:5. Si hay 2,4 litros de agua, ¿cuántos litros de zumo hay? ¿Y cuántos litros tiene la mezcla en total?
💡 Pista: Si agua/zumo = 3/5, despeja el zumo sabiendo que el agua es 2,4 litros.
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Paso 1Razón agua:zumo = 3:5 → agua/zumo = 3/5
Paso 22,4/zumo = 3/5
Paso 3zumo = 2,4 × 5/3 = 12/3 = **4 litros**
Paso 4Total: 2,4 + 4 = **6,4 litros**
Tema 5 — Expresiones algebraicas
El álgebra utiliza letras para representar cantidades desconocidas o variables. Un monomio es una expresión formada por un coeficiente y una parte literal (ej: 3x²). Un polinomio es la suma de varios monomios. En 2º ESO se estudian las operaciones con polinomios y las identidades notables, que son fórmulas que simplifican muchos cálculos.
Conceptos clave:
Monomio: expresión algebraica con un solo término, como 5x³ (coeficiente 5, parte literal x³, grado 3)
Polinomio: suma de monomios; el grado del polinomio es el mayor de los grados de sus monomios
Valor numérico: resultado de sustituir la variable por un número concreto
Identidad notable 1: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Identidad notable 2: (a − b)² = a² − 2ab + b²
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Ejercicio 1Básico
Calcula el valor numérico de 3x² + 5x − 2 para x = −1.
💡 Pista: Sustituye x por −1 en cada término y opera respetando la jerarquía.
Una ecuación de primer grado es una igualdad con una incógnita (normalmente x) donde el mayor exponente de la incógnita es 1. Resolverla consiste en despejar x aplicando operaciones inversas a ambos lados de la igualdad. Las ecuaciones son la herramienta principal para resolver problemas de planteo (edades, mezclas, geometría, etc.).
Conceptos clave:
Ecuación: igualdad que solo se cumple para determinados valores de la incógnita
Transponer términos: pasar un término al otro lado de la igualdad cambiándole el signo (si suma, pasa restando y viceversa)
Ecuación con paréntesis: primero se eliminan los paréntesis aplicando la propiedad distributiva
Ecuación con denominadores: se multiplica toda la ecuación por el mcm de los denominadores
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Ejercicio 1Básico
Resuelve: 5x − 3 = 2x + 9.
💡 Pista: Pasa los términos con x a un lado y los números al otro.
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Paso 1Agrupamos las x a la izquierda: 5x − 2x = 9 + 3
Paso 2Simplificamos: 3x = 12
Paso 3Despejamos: x = 12 ÷ 3 = **x = 4**
Ejercicio 2Básico
Resuelve: 3(x + 2) = 21.
💡 Pista: Primero aplica la propiedad distributiva para eliminar el paréntesis.
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Paso 1Distributiva: 3x + 6 = 21
Paso 2Pasamos 6 restando: 3x = 21 − 6 = 15
Paso 3Despejamos: x = 15 ÷ 3 = **x = 5**
Ejercicio 3Intermedio
Resuelve: 4(2x − 1) − 3(x + 5) = 6.
💡 Pista: Aplica la distributiva en ambos paréntesis, agrupa términos semejantes y despeja.
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Paso 1Distributiva: 8x − 4 − 3x − 15 = 6
Paso 2Agrupamos: 5x − 19 = 6
Paso 3Pasamos −19: 5x = 6 + 19 = 25
Paso 4Despejamos: x = 25 ÷ 5 = **x = 5**
Ejercicio 4Intermedio
Resuelve: (x + 3)/4 − (x − 1)/3 = 1.
💡 Pista: Multiplica toda la ecuación por el mcm(4, 3) = 12 para eliminar denominadores.
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Paso 1mcm(4, 3) = 12. Multiplicamos toda la ecuación por 12:
La edad de Ana es el triple de la de su hijo Lucas. Dentro de 12 años, la edad de Ana será el doble de la de Lucas. ¿Qué edad tiene cada uno ahora?
💡 Pista: Llama x a la edad de Lucas. Ana tiene 3x. Dentro de 12 años: Ana tendrá 3x + 12 y Lucas x + 12.
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Paso 1Sea x = edad de Lucas ahora → Ana = 3x
Paso 2Dentro de 12 años: Lucas = x + 12, Ana = 3x + 12
Paso 3Condición: 3x + 12 = 2(x + 12)
Paso 43x + 12 = 2x + 24
Paso 53x − 2x = 24 − 12
Paso 6x = 12 → Lucas tiene **12 años**, Ana tiene 3 × 12 = **36 años**
⚠️ Comprobación: dentro de 12 años Lucas tendrá 24 y Ana 48 → 48 = 2 × 24 ✓
Ejercicio 6Avanzado
En un examen de 30 preguntas, cada acierto suma 1 punto y cada fallo resta 0,25 puntos. Si un alumno ha contestado todas y ha sacado 21 puntos, ¿cuántas ha acertado?
💡 Pista: Llama x al número de aciertos. Fallos = 30 − x. Plantea: x − 0,25(30 − x) = 21.
Una ecuación de segundo grado tiene la forma ax² + bx + c = 0. En 2º ESO se introducen los casos más sencillos: ecuaciones incompletas (cuando b = 0 o c = 0) y la resolución mediante la fórmula general. El discriminante (b² − 4ac) indica cuántas soluciones tiene la ecuación.
Conceptos clave:
Forma general: ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0
Ecuación incompleta pura (b = 0): ax² + c = 0 → x² = −c/a → dos soluciones opuestas o ninguna
Ecuación incompleta (c = 0): ax² + bx = 0 → x(ax + b) = 0 → una solución es x = 0
Fórmula general: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
Discriminante: si b² − 4ac > 0 → dos soluciones; = 0 → una solución doble; < 0 → sin solución real
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Ejercicio 1Básico
Resuelve: x² − 16 = 0.
💡 Pista: Despeja x²: x² = 16 y luego aplica la raíz cuadrada (recuerda las dos soluciones).
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Paso 1x² − 16 = 0
Paso 2x² = 16
Paso 3x = ±√16
Paso 4**x = 4** y **x = −4**
Ejercicio 2Básico
Resuelve: 2x² − 8 = 0.
💡 Pista: Despeja x² paso a paso: primero pasa −8 sumando, luego divide entre 2.
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Paso 12x² = 8
Paso 2x² = 8 ÷ 2 = 4
Paso 3x = ±√4
Paso 4**x = 2** y **x = −2**
Ejercicio 3Intermedio
Resuelve: 3x² − 12x = 0.
💡 Pista: Saca factor común x: x(3x − 12) = 0. Un producto es cero si algún factor es cero.
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Paso 1Factor común: 3x(x − 4) = 0
Paso 2Primer factor: 3x = 0 → **x = 0**
Paso 3Segundo factor: x − 4 = 0 → **x = 4**
Ejercicio 4Intermedio
Resuelve: x² − 7x + 10 = 0.
💡 Pista: Aplica la fórmula general con a = 1, b = −7, c = 10.
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas incógnitas. La solución es el par de valores (x, y) que satisface todas las ecuaciones a la vez. En 2º ESO se introducen los métodos de resolución: sustitución, igualación y reducción, además de la interpretación gráfica como punto de corte de dos rectas.
Conceptos clave:
Sistema compatible determinado: tiene una única solución (las rectas se cortan en un punto)
Método de sustitución: se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la otra
Método de igualación: se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan
Método de reducción: se suman o restan las ecuaciones para eliminar una incógnita
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Resuelve por sustitución: x + y = 10, 2x − y = 5.
💡 Pista: Despeja y en la primera ecuación: y = 10 − x, y sustitúyelo en la segunda.
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Paso 1De la primera ecuación: y = 10 − x
Paso 2Sustituimos en la segunda: 2x − (10 − x) = 5
Paso 32x − 10 + x = 5
Paso 43x = 15
Paso 5**x = 5**
Paso 6y = 10 − 5 = **y = 5**
⚠️ Comprobación: 5 + 5 = 10 ✓ y 2(5) − 5 = 5 ✓
Ejercicio 2Básico
Resuelve por reducción: 3x + y = 11, x − y = 1.
💡 Pista: Suma ambas ecuaciones para eliminar la y.
La suma de dos números es 28 y su diferencia es 4. Además, el triple del mayor menos el doble del menor es 50. Comprueba que los datos son consistentes y halla los números.
💡 Pista: Plantea x + y = 28 y x − y = 4 (siendo x > y). Resuelve y luego verifica la tercera condición.
Paso 5La tercera condición NO se cumple, pero las dos primeras dan: **16 y 12**
⚠️ La tercera condición añadida no es compatible con las dos primeras. El sistema principal tiene solución única: 16 y 12.
Tema 9 — Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: h² = a² + b². Es una herramienta fundamental para calcular distancias, alturas y diagonales en figuras planas y en problemas de la vida real.
Conceptos clave:
Triángulo rectángulo: tiene un ángulo de 90°. La hipotenusa es el lado mayor (opuesto al ángulo recto)
Calcula la distancia entre los puntos A(−3, 2) y B(5, −4) en el plano cartesiano.
💡 Pista: Usa la fórmula: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²).
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Paso 1d = √((5 − (−3))² + (−4 − 2)²)
Paso 2d = √(8² + (−6)²)
Paso 3d = √(64 + 36) = √100
Paso 4d = **10**
Tema 10 — Semejanza y escalas
Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma pero distinto tamaño: sus ángulos son iguales y sus lados son proporcionales. La razón de semejanza es el cociente entre lados correspondientes. Las escalas en mapas y planos son una aplicación directa de la semejanza: indican la relación entre la distancia en el dibujo y la distancia real.
Conceptos clave:
Razón de semejanza: k = lado figura grande / lado figura pequeña
Criterios de semejanza de triángulos: AA (dos ángulos iguales), LLL (tres lados proporcionales), LAL (dos lados proporcionales y ángulo comprendido igual)
Relación de áreas: si la razón de semejanza es k, la relación de áreas es k²
Escala: escala = distancia en el plano / distancia real
Escala numérica: 1:25 000 significa que 1 cm en el mapa son 25 000 cm (250 m) reales
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Ejercicio 1Básico
Dos triángulos son semejantes con razón 2:3. Si el lado menor del triángulo pequeño mide 6 cm, ¿cuánto mide el lado correspondiente del grande?
💡 Pista: Si la razón es 2:3, el grande es 3/2 del pequeño.
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Paso 1Razón de semejanza: k = 3/2
Paso 2Lado del grande = 6 × 3/2 = 18/2 = **9 cm**
Ejercicio 2Básico
En un mapa a escala 1:25 000, la distancia entre dos pueblos es 8 cm. ¿Cuál es la distancia real en kilómetros?
💡 Pista: Multiplica 8 cm por 25 000 para obtener la distancia real en centímetros y convierte a km.
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Paso 1Distancia real = 8 × 25 000 = 200 000 cm
Paso 2Convertimos: 200 000 cm = 2 000 m = **2 km**
Ejercicio 3Intermedio
Un árbol proyecta una sombra de 4,5 m. A la misma hora, una vara de 1,2 m de altura proyecta una sombra de 0,9 m. ¿Cuánto mide el árbol?
💡 Pista: Los triángulos formados por los objetos y sus sombras son semejantes. Plantea la proporción.
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Paso 1Proporción: altura árbol / sombra árbol = altura vara / sombra vara
Paso 2h / 4,5 = 1,2 / 0,9
Paso 3h = 4,5 × (1,2 / 0,9)
Paso 4h = 4,5 × 1,333... = **6 m**
Ejercicio 4Intermedio
Dos rectángulos son semejantes con razón 2:3. Si el área del pequeño es 24 cm², ¿cuál es el área del grande?
💡 Pista: La relación de áreas es el cuadrado de la razón de semejanza: (3/2)² = 9/4.
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Paso 1Razón de semejanza: k = 3/2
Paso 2Relación de áreas: k² = (3/2)² = 9/4
Paso 3Área del grande = 24 × 9/4 = 216/4 = **54 cm²**
Ejercicio 5Avanzado
En un plano de una vivienda a escala 1:50, el salón mide 8 cm × 6 cm. ¿Cuáles son las dimensiones reales del salón en metros? ¿Y su superficie real?
💡 Pista: Multiplica cada medida del plano por 50 para obtener las reales.
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Paso 1Largo real: 8 × 50 = 400 cm = 4 m
Paso 2Ancho real: 6 × 50 = 300 cm = 3 m
Paso 3Dimensiones reales: **4 m × 3 m**
Paso 4Superficie: 4 × 3 = **12 m²**
⚠️ También se puede calcular el área en el plano (48 cm²) y multiplicar por 50² = 2500 → 48 × 2500 = 120 000 cm² = 12 m².
Ejercicio 6Avanzado
Dos triángulos semejantes tienen perímetros de 30 cm y 45 cm. Si el lado más largo del triángulo pequeño mide 14 cm, ¿cuánto mide el lado correspondiente del grande?
💡 Pista: La razón de semejanza es la misma que la razón de los perímetros: 30:45 = 2:3.
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Paso 1Razón de perímetros = razón de semejanza: 30/45 = 2/3
Paso 2k = 3/2 (del pequeño al grande)
Paso 3Lado correspondiente del grande = 14 × 3/2 = 42/2 = **21 cm**
Tema 11 — Cuerpos geométricos
Los cuerpos geométricos son figuras tridimensionales. En 2º ESO se estudian los prismas (rectos y oblicuos), los cilindros, los conos y las esferas, junto con el cálculo de su área total (superficie) y su volumen. Estas fórmulas son fundamentales en problemas de la vida real y en cursos posteriores.
Conceptos clave:
Prisma: V = Área base × altura; A_lateral = perímetro base × altura
Cilindro: V = π × r² × h; A_total = 2πr² + 2πrh
Cono: V = (1/3) × π × r² × h; A_lateral = π × r × g (g = generatriz)
Esfera: V = (4/3) × π × r³; A = 4 × π × r²
Generatriz del cono: g = √(r² + h²) (Pitágoras)
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Calcula el volumen de un cilindro de radio 4 cm y altura 9 cm. Usa π ≈ 3,14.
💡 Pista: V = π × r² × h = π × 4² × 9.
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Paso 1V = π × r² × h
Paso 2V = 3,14 × 4² × 9
Paso 3V = 3,14 × 16 × 9
Paso 4V = 3,14 × 144 = **452,16 cm³**
Ejercicio 2Básico
Calcula el área total de un cubo de 5 cm de arista.
💡 Pista: Un cubo tiene 6 caras cuadradas iguales. A = 6 × arista².
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Área de una cara = 5² = 25 cm²
Paso 2Área total = 6 × 25 = **150 cm²**
Ejercicio 3Intermedio
Calcula el volumen de un cono de radio 4 cm y altura 9 cm. Usa π ≈ 3,14.
💡 Pista: V = (1/3) × π × r² × h.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1V = (1/3) × π × r² × h
Paso 2V = (1/3) × 3,14 × 16 × 9
Paso 3V = (1/3) × 452,16
Paso 4V = **150,72 cm³**
⚠️ El volumen del cono es exactamente un tercio del cilindro con la misma base y altura.
Ejercicio 4Intermedio
Calcula el área total de un cilindro de radio 3 cm y altura 10 cm. Usa π ≈ 3,14.
💡 Pista: A_total = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h).
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1A_total = 2πr(r + h)
Paso 2A_total = 2 × 3,14 × 3 × (3 + 10)
Paso 3A_total = 6,28 × 3 × 13
Paso 4A_total = 6,28 × 39 = **244,92 cm²**
Ejercicio 5Avanzado
Calcula el volumen y el área de una esfera de radio 6 cm. Usa π ≈ 3,14.
Una función es una relación que asigna a cada valor de x un único valor de y. En 2º ESO se trabaja con el plano cartesiano, la representación de funciones mediante tablas de valores y gráficas, y se estudian las funciones lineales (y = mx + n), donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen.
Conceptos clave:
Función: regla que a cada valor de x le asigna un único valor de y
Dominio: conjunto de valores que puede tomar x
Función lineal: y = mx + n, donde m = pendiente y n = ordenada en el origen
Pendiente: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁); indica la inclinación de la recta
Función de proporcionalidad directa: y = mx (pasa por el origen, n = 0)
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Completa la tabla de valores para y = 3x − 1: x = −2, −1, 0, 1, 2.
💡 Pista: Sustituye cada valor de x en la fórmula y = 3x − 1.
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Paso 1x = −2: y = 3(−2) − 1 = −6 − 1 = −7
Paso 2x = −1: y = 3(−1) − 1 = −3 − 1 = −4
Paso 3x = 0: y = 3(0) − 1 = −1
Paso 4x = 1: y = 3(1) − 1 = 2
Paso 5x = 2: y = 3(2) − 1 = 5
Paso 6Valores: **y = −7, −4, −1, 2, 5**
Ejercicio 2Básico
¿Cuál es la pendiente y la ordenada en el origen de la recta y = −2x + 5?
💡 Pista: Compara con la forma y = mx + n.
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Paso 1Comparando y = −2x + 5 con y = mx + n:
Paso 2Pendiente: **m = −2** (la recta es decreciente)
Paso 3Ordenada en el origen: **n = 5** (corta al eje Y en el punto (0, 5))
⚠️ Si m < 0, la recta es decreciente (baja de izquierda a derecha).
Ejercicio 3Intermedio
Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 4) y B(3, 10).
💡 Pista: Calcula la pendiente m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) y luego usa y − y₁ = m(x − x₁).
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Paso 1Pendiente: m = (10 − 4) / (3 − 1) = 6/2 = 3
Paso 2Ecuación punto-pendiente: y − 4 = 3(x − 1)
Paso 3y − 4 = 3x − 3
Paso 4**y = 3x + 1**
⚠️ Comprobación: para x = 1 → y = 3(1) + 1 = 4 ✓; para x = 3 → y = 3(3) + 1 = 10 ✓
Ejercicio 4Intermedio
¿En qué punto se cortan las rectas y = 2x − 3 e y = −x + 6?
💡 Pista: Iguala las dos expresiones: 2x − 3 = −x + 6 y resuelve.
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Paso 1Igualamos: 2x − 3 = −x + 6
Paso 23x = 9
Paso 3x = 3
Paso 4y = 2(3) − 3 = 3
Paso 5Punto de corte: **(3, 3)**
Ejercicio 5Avanzado
Un depósito se llena a razón constante. A los 5 minutos tiene 30 litros y a los 11 minutos tiene 66 litros. Escribe la función que relaciona litros (y) con minutos (x) y calcula cuántos litros habrá a los 20 minutos.
💡 Pista: Calcula la pendiente (litros por minuto) y comprueba si pasa por el origen.
Paso 3Ambas pendientes son iguales (m = −2) → **los tres puntos están alineados**
⚠️ La ecuación de la recta es y = −2x + 3.
Tema 13 — Estadística y probabilidad
La estadística se ocupa de recoger, organizar y analizar datos. Las medidas de centralización (media, mediana, moda) resumen un conjunto de datos en un solo valor representativo. La probabilidad mide la posibilidad de que ocurra un suceso, expresándose como un número entre 0 (imposible) y 1 (seguro).
Conceptos clave:
Media aritmética: suma de todos los datos dividida entre el número total de datos
Mediana: valor central cuando los datos están ordenados; si hay un número par de datos, es la media de los dos centrales
En una baraja española de 40 cartas, se extrae una carta al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un rey o un as?
💡 Pista: Hay 4 reyes y 4 ases en la baraja. Son sucesos mutuamente excluyentes.
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Paso 1Reyes: 4 cartas
Paso 2Ases: 4 cartas
Paso 3Como son sucesos excluyentes: P(rey o as) = P(rey) + P(as)
Paso 4P = 4/40 + 4/40 = 8/40 = **1/5**
Ejercicio 6Avanzado
La tabla muestra las horas de estudio semanal de 30 alumnos: 2h (4 alumnos), 3h (7 alumnos), 4h (10 alumnos), 5h (6 alumnos), 6h (3 alumnos). Calcula la media ponderada.
💡 Pista: Multiplica cada valor por su frecuencia, suma los productos y divide entre el total de alumnos.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Productos: 2×4 + 3×7 + 4×10 + 5×6 + 6×3
Paso 2= 8 + 21 + 40 + 30 + 18 = 117
Paso 3Total alumnos: 4 + 7 + 10 + 6 + 3 = 30
Paso 4Media = 117 / 30 = **3,9 horas**
Cómo usar este solucionario para aprobar
La técnica del bolígrafo rojo es la más efectiva: haz tus ejercicios en azul, intenta resolver cada problema del módulo interactivo, y cuando veas la solución, anota en rojo dónde fallaste. Ese proceso de identificar exactamente tu error es lo que evita que lo repitas en el examen real.
Los ejercicios resueltos están ordenados de menor a mayor dificultad dentro de cada tema. Si un tema se te resiste, empieza por los básicos (verdes) y avanza hacia los avanzados (rojos) cuando domines los primeros.
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