Solucionario del libro de Matemáticas 2 ESO Oxford (serie Inicia) con todos los ejercicios resueltos paso a paso. Oxford estructura su método partiendo de situaciones cotidianas para introducir cada concepto matemático, lo que facilita la comprensión de temas como ecuaciones, proporcionalidad y geometría. Aquí encontrarás cada problema desglosado con explicaciones claras para que puedas preparar tus exámenes con confianza.
En este solucionario de Matemáticas 2 ESO Oxford encontrarás ejercicios interactivos con autocorrección instantánea, resúmenes de teoría por tema y soluciones paso a paso con explicación detallada. Cada ejercicio incluye autoevaluación con pistas progresivas y una barra de progreso para que controles cuánto llevas de cada tema. Todo el contenido está adaptado al currículo oficial de 2º ESO.
👆 Haz click en un tema del índice de arriba para ver los ejercicios resueltos, la teoría resumida y la autoevaluación interactiva.
Tema 1 — Números enteros
Los números enteros (ℤ) amplían los naturales incluyendo el cero y los negativos. En este tema se trabajan las operaciones combinadas con enteros respetando la jerarquía de operaciones, el uso de paréntesis y corchetes, y las potencias de base entera. Dominar estos cálculos es esencial para todo lo que viene después en 2º ESO.
⚠️ Cuidado: restar un número negativo equivale a sumar su positivo.
Ejercicio 6Avanzado
Calcula: (−5) × (+3) − (−7) × (−2) + (−4)² ÷ 8
💡 Pista: Haz primero todas las multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha) y después suma/resta los resultados.
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Paso 1(−5) × (+3) = −15
Paso 2(−7) × (−2) = +14
Paso 3(−4)² = 16; luego 16 ÷ 8 = 2
Paso 4Sustituimos: −15 − 14 + 2 = **−27**
Tema 2 — Divisibilidad
La divisibilidad estudia las relaciones entre números enteros en cuanto a múltiplos y divisores. Se profundiza en la descomposición en factores primos, el cálculo del MCD (máximo común divisor) y el mcm (mínimo común múltiplo), herramientas imprescindibles para operar con fracciones y resolver problemas de reparto.
Conceptos clave:
Número primo: solo es divisible por 1 y por sí mismo (2, 3, 5, 7, 11, 13…)
Descomposición en factores primos: expresar un número como producto de primos (factorización única)
MCD: producto de los factores primos comunes con el menor exponente
mcm: producto de todos los factores primos con el mayor exponente
Criterios de divisibilidad: por 2 (cifra par), por 3 (suma de cifras múltiplo de 3), por 5 (acaba en 0 o 5)
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Descompón en factores primos el número 180.
💡 Pista: Divide sucesivamente entre los primos más pequeños: 2, 3, 5…
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Paso 1180 ÷ 2 = 90
Paso 290 ÷ 2 = 45
Paso 345 ÷ 3 = 15
Paso 415 ÷ 3 = 5
Paso 55 ÷ 5 = 1
Paso 6180 = **2² × 3² × 5**
Ejercicio 2Básico
Calcula el MCD de 40 y 56.
💡 Pista: Descompón ambos números en factores primos y toma los factores comunes con menor exponente.
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Paso 140 = 2³ × 5
Paso 256 = 2³ × 7
Paso 3Factores comunes: 2³ (el 5 y el 7 no son comunes)
Paso 4MCD(40, 56) = 2³ = **8**
⚠️ El MCD sirve para simplificar fracciones: 40/56 = 5/7.
Ejercicio 3Intermedio
Calcula el mcm de 18 y 27.
💡 Pista: Descompón en factores primos y toma todos los factores con el mayor exponente.
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Paso 118 = 2 × 3²
Paso 227 = 3³
Paso 3Tomamos todos los factores con mayor exponente: 2¹ y 3³
Paso 4mcm(18, 27) = 2 × 27 = **54**
⚠️ El mcm se usa para calcular el denominador común de fracciones.
Ejercicio 4Intermedio
Un autobús pasa cada 12 minutos y otro cada 16 minutos. Si coinciden a las 8:00, ¿a qué hora vuelven a coincidir?
💡 Pista: Calcula el mcm de 12 y 16 para saber cada cuántos minutos coinciden.
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Paso 112 = 2² × 3
Paso 216 = 2⁴
Paso 3mcm(12, 16) = 2⁴ × 3 = 48 minutos
Paso 4Coinciden cada 48 minutos: 8:00 + 48 min = **8:48**
⚠️ Problema clásico de mcm: encontrar la primera coincidencia de eventos periódicos.
Ejercicio 5Avanzado
Calcula el MCD y el mcm de 84, 126 y 210.
💡 Pista: Descompón los tres números y aplica las reglas de MCD (comunes con menor exponente) y mcm (todos con mayor exponente).
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Paso 184 = 2² × 3 × 7
Paso 2126 = 2 × 3² × 7
Paso 3210 = 2 × 3 × 5 × 7
Paso 4MCD: factores comunes con menor exponente → 2¹ × 3¹ × 7¹ = **42**
Paso 5mcm: todos los factores con mayor exponente → 2² × 3² × 5 × 7 = 4 × 9 × 5 × 7 = **1260**
Ejercicio 6Avanzado
Se quieren repartir 60 bombones y 84 caramelos en bolsas iguales, con el mayor número posible de bolsas y sin que sobre nada. ¿Cuántas bolsas se hacen y qué lleva cada una?
💡 Pista: El número máximo de bolsas iguales es el MCD de 60 y 84.
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Paso 160 = 2² × 3 × 5
Paso 284 = 2² × 3 × 7
Paso 3MCD(60, 84) = 2² × 3 = 12 bolsas
Paso 4Bombones por bolsa: 60 ÷ 12 = 5
Paso 5Caramelos por bolsa: 84 ÷ 12 = 7
Paso 6**12 bolsas con 5 bombones y 7 caramelos cada una**
⚠️ El MCD resuelve problemas de reparto equitativo máximo.
Tema 3 — Fracciones
Las fracciones representan partes de un todo o cocientes entre enteros. En este tema se repasan las fracciones equivalentes, la simplificación, la reducción a común denominador y las cuatro operaciones básicas. También se trabaja con números mixtos y la conversión entre fracción y número mixto.
Conceptos clave:
Fracción equivalente: dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad (a/b = c/d ⇔ a·d = b·c)
Fracción irreducible: cuando numerador y denominador son coprimos (MCD = 1)
Suma/resta: se necesita denominador común; se usa el mcm de los denominadores
Multiplicación: se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí
División: se multiplica por la inversa de la segunda fracción
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Calcula: 4/7 + 2/3
💡 Pista: Busca el denominador común (mcm de 7 y 3) y suma los numeradores equivalentes.
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Paso 1mcm(7, 3) = 21
Paso 24/7 = 12/21 (multiplicamos numerador y denominador por 3)
Paso 32/3 = 14/21 (multiplicamos numerador y denominador por 7)
Paso 412/21 + 14/21 = **26/21**
⚠️ 26/21 es fracción impropia; equivale al número mixto 1 y 5/21.
Ejercicio 2Básico
Calcula: 5/9 × 3/10
💡 Pista: Multiplica numeradores entre sí y denominadores entre sí; luego simplifica.
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Paso 1Numeradores: 5 × 3 = 15
Paso 2Denominadores: 9 × 10 = 90
Paso 3Resultado: 15/90
Paso 4Simplificamos dividiendo entre MCD(15,90) = 15: 15/90 = **1/6**
⚠️ También puedes simplificar antes de multiplicar: 5 con 10 y 3 con 9.
Ejercicio 3Intermedio
Calcula: 2⅓ + 1¾ (suma de números mixtos).
💡 Pista: Convierte los números mixtos a fracciones impropias y luego suma.
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Paso 12⅓ = (2×3+1)/3 = 7/3
Paso 21¾ = (1×4+3)/4 = 7/4
Paso 3mcm(3, 4) = 12
Paso 47/3 = 28/12
Paso 57/4 = 21/12
Paso 628/12 + 21/12 = **49/12** (equivale a 4 y 1/12)
Ejercicio 4Intermedio
Calcula: (3/8 − 1/6) ÷ 5/12
💡 Pista: Resuelve primero el paréntesis (resta de fracciones) y luego divide por la segunda fracción.
💡 Pista: Primero eleva al cuadrado, luego multiplica y finalmente resta.
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Paso 1(2/3)² = 4/9
Paso 2Multiplicación: 4/9 × 9/8 = 36/72 = 1/2
Paso 3Resta: 1/2 − 1/2 = **0**
⚠️ Elevar una fracción al cuadrado significa elevar numerador y denominador por separado.
Tema 4 — Números decimales
Los números decimales son otra forma de expresar fracciones. Se clasifican en decimales exactos (número finito de cifras), periódicos puros (las cifras se repiten desde la coma) y periódicos mixtos (algunas cifras no se repiten antes del período). Es fundamental saber convertir entre fracción y decimal en ambos sentidos.
Conceptos clave:
Decimal exacto: tiene un número finito de cifras decimales (ej: 0,75 = 3/4)
Periódico puro: las cifras se repiten desde la coma (ej: 0,333… = 1/3)
Periódico mixto: hay cifras no periódicas antes del período (ej: 0,1666… = 1/6)
Fracción generatriz: la fracción irreducible que genera un decimal dado
Orden: para comparar decimales se igualan las cifras decimales añadiendo ceros
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Expresa 4,625 como fracción irreducible.
💡 Pista: Escribe el número sin coma como numerador y una potencia de 10 como denominador, luego simplifica.
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Paso 14,625 = 4625/1000
Paso 2Simplificamos: MCD(4625, 1000) = 125
Paso 34625 ÷ 125 = 37
Paso 41000 ÷ 125 = 8
Paso 54,625 = **37/8**
Ejercicio 2Básico
Obtén la fracción generatriz de 0,272727… (periódico puro).
💡 Pista: Para un periódico puro, el numerador es el período y el denominador tantos nueves como cifras tiene el período.
Obtén la fracción generatriz de 0,1666… (periódico mixto, período = 6).
💡 Pista: Para un periódico mixto: numerador = todo sin coma menos la parte no periódica; denominador = nueves (por cifras del período) y ceros (por cifras no periódicas).
Paso 3Denominador: 90 (un 9 por la cifra del período, un 0 por la cifra no periódica)
Paso 4Fracción: 15/90. Simplificamos dividiendo entre 15: **1/6**
Ejercicio 4Intermedio
Obtén la fracción generatriz de 2,454545…
💡 Pista: Separa la parte entera y trabaja solo con la parte decimal periódica pura.
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Paso 1Parte entera: 2. Parte decimal: 0,454545… (periódico puro, período = 45)
Paso 2Fracción de la parte decimal: 45/99 = 5/11
Paso 3Sumamos la parte entera: 2 + 5/11 = 22/11 + 5/11 = **27/11**
⚠️ También se puede resolver directamente: numerador = 245 − 2 = 243; denominador = 99. Luego 243/99 = 27/11.
Ejercicio 5Avanzado
Ordena de menor a mayor: 3/7, 0,428, 0,43̄ (0,4333…).
💡 Pista: Convierte todo a decimales con suficientes cifras para comparar.
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Paso 13/7 = 0,42857…
Paso 20,428 = 0,42800…
Paso 30,43̄ = 0,43333…
Paso 4Comparamos: 0,42800 < 0,42857 < 0,43333
Paso 5Orden: **0,428 < 3/7 < 0,43̄**
⚠️ Para comparar, es útil expresar todos los números con el mismo formato (decimales o fracciones).
Ejercicio 6Avanzado
Calcula: 0,666… + 0,1818… y expresa el resultado como fracción irreducible.
💡 Pista: Convierte cada decimal periódico a fracción, suma y simplifica.
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Paso 10,666… = 6/9 = 2/3
Paso 20,1818… = 18/99 = 2/11
Paso 3Suma: 2/3 + 2/11
Paso 4mcm(3, 11) = 33
Paso 52/3 = 22/33; 2/11 = 6/33
Paso 622/33 + 6/33 = 28/33
Paso 7MCD(28, 33) = 1 → ya es irreducible: **28/33**
Tema 5 — Potencias y raíces
Las potencias son multiplicaciones abreviadas de un mismo factor. Se estudian las propiedades de las potencias (producto, cociente, potencia de potencia), las potencias de exponente negativo y la notación científica. Las raíces cuadradas son la operación inversa de elevar al cuadrado.
Conceptos clave:
Producto de potencias (misma base): aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ
Cociente de potencias (misma base): aⁿ ÷ aᵐ = aⁿ⁻ᵐ
Potencia de potencia: (aⁿ)ᵐ = aⁿˣᵐ
Exponente negativo: a⁻ⁿ = 1/aⁿ
Notación científica: a × 10ⁿ con 1 ≤ a < 10
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Calcula 5³.
💡 Pista: Multiplica 5 por sí mismo tres veces.
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Paso 15³ = 5 × 5 × 5
Paso 25 × 5 = 25
Paso 325 × 5 = **125**
Ejercicio 2Básico
Calcula (−4)³.
💡 Pista: Base negativa con exponente impar da resultado negativo.
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Paso 1(−4)³ = (−4) × (−4) × (−4)
Paso 2(−4) × (−4) = 16
Paso 316 × (−4) = **−64**
⚠️ Exponente impar → el signo negativo se conserva.
Ejercicio 3Intermedio
Calcula √196.
💡 Pista: Busca un número que multiplicado por sí mismo dé 196. Prueba con números cercanos a 10-15.
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar una por un número, la otra se multiplica por el mismo. Son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una, la otra se divide por ese número. La regla de tres y los porcentajes son aplicaciones fundamentales de la proporcionalidad.
Conceptos clave:
Proporcionalidad directa: a más cantidad de una magnitud, más de la otra (en la misma proporción)
Proporcionalidad inversa: a más cantidad de una magnitud, menos de la otra
Regla de tres directa: a/b = c/x → x = b·c/a
Regla de tres inversa: a·b = c·x → x = a·b/c
Porcentaje: n% de C = (n/100) × C
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Si 5 kg de naranjas cuestan 7,50 €, ¿cuánto cuestan 8 kg?
💡 Pista: Es proporcionalidad directa: más kilos → más euros. Usa la regla de tres.
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Paso 15 kg → 7,50 €
Paso 28 kg → x €
Paso 3Regla de tres directa: x = (8 × 7,50) ÷ 5
Paso 4x = 60 ÷ 5 = **12 €**
Ejercicio 2Básico
Calcula el 20% de 85 €.
💡 Pista: Multiplica la cantidad por el porcentaje expresado como decimal (20% = 0,20).
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Paso 120% de 85 = (20/100) × 85
Paso 2= 0,20 × 85 = **17 €**
Ejercicio 3Intermedio
3 trabajadores tardan 8 días en hacer una obra. ¿Cuántos días tardarán 6 trabajadores?
💡 Pista: Más trabajadores → menos días. Es proporcionalidad inversa.
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Paso 13 trabajadores → 8 días
Paso 26 trabajadores → x días
Paso 3Proporcionalidad inversa: 3 × 8 = 6 × x
Paso 424 = 6x
Paso 5x = 24 ÷ 6 = **4 días**
Ejercicio 4Intermedio
Un artículo costaba 85 € y le aplican un 20% de descuento. ¿Cuál es el precio final?
💡 Pista: Calcula el descuento y réstalo del precio original. O bien multiplica por (1 − 0,20).
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Paso 1Descuento: 20% de 85 = 17 €
Paso 2Precio final: 85 − 17 = **68 €**
Paso 3Método alternativo: 85 × 0,80 = 68 €
⚠️ Multiplicar por 0,80 equivale a restar el 20% directamente.
Ejercicio 5Avanzado
En un mapa a escala 1:250 000, la distancia entre dos ciudades mide 7,4 cm. ¿Cuál es la distancia real en kilómetros?
💡 Pista: Multiplica la distancia del mapa por el factor de escala y convierte a kilómetros.
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Paso 1Distancia real = 7,4 cm × 250 000 = 1 850 000 cm
Paso 2Convertimos a km: 1 850 000 cm ÷ 100 000 = **18,5 km**
⚠️ Recuerda: 1 km = 100 000 cm.
Ejercicio 6Avanzado
Un producto sube un 15% y después baja un 15%. Si el precio original era 120 €, ¿cuál es el precio final? ¿Ha vuelto al original?
💡 Pista: Aplica los porcentajes sucesivamente. ¡Cuidado! Subir y bajar el mismo porcentaje NO da el precio original.
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Paso 1Subida del 15%: 120 × 1,15 = 138 €
Paso 2Bajada del 15%: 138 × 0,85 = 117,30 €
Paso 3Precio final: **117,30 €**
Paso 4No vuelve al original porque el 15% de bajada se aplica sobre 138 (cantidad mayor), no sobre 120.
⚠️ Este es un error muy común. Subir y bajar el mismo porcentaje siempre da menos que el valor original.
Tema 7 — Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es una combinación de números, letras (variables) y operaciones. Los monomios son expresiones con un solo término (ej: 3x²) y los polinomios son sumas de monomios. Se aprende a evaluar expresiones sustituyendo la variable por un valor y a operar con monomios y polinomios.
Conceptos clave:
Monomio: expresión algebraica con un solo término (coeficiente × parte literal). Ej: −4x³
Grado de un monomio: suma de los exponentes de sus variables
Polinomio: suma de monomios. Ej: 5x² − 2x + 7
Valor numérico: resultado de sustituir las variables por números concretos
Monomios semejantes: misma parte literal (se pueden sumar/restar)
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Indica el coeficiente, la parte literal y el grado del monomio −7x⁴y².
💡 Pista: El grado es la suma de los exponentes de todas las variables.
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Paso 1Coeficiente: **−7**
Paso 2Parte literal: **x⁴y²**
Paso 3Grado: 4 + 2 = **6**
Ejercicio 2Básico
Calcula el valor numérico de 5x² − 2x + 7 para x = −3.
💡 Pista: Sustituye x por −3 en cada término y opera respetando la jerarquía.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 15·(−3)² − 2·(−3) + 7
Paso 25·9 − (−6) + 7
Paso 345 + 6 + 7 = **58**
⚠️ Cuidado: (−3)² = 9 (positivo). El signo menos está dentro del paréntesis.
Ejercicio 3Intermedio
Multiplica los monomios: (−3x⁴) × (5x³).
💡 Pista: Multiplica coeficientes y suma los exponentes de la misma variable.
⚠️ Para verificar, puedes volver a distribuir 6x y comprobar que obtienes el polinomio original.
Tema 8 — Ecuaciones de primer grado
Una ecuación de primer grado es una igualdad con una incógnita cuyo mayor exponente es 1. Resolverla consiste en despejar la incógnita aplicando operaciones inversas a ambos lados. En este tema se trabajan ecuaciones con paréntesis, con fracciones (denominadores) y problemas de planteo donde hay que traducir el enunciado a ecuación.
Conceptos clave:
Ecuación: igualdad con una incógnita que solo se cumple para cierto valor
Transponer términos: pasar un término al otro lado cambiando de signo (suma↔resta) o de operación (producto↔cociente)
Ecuaciones con paréntesis: se eliminan primero los paréntesis aplicando la distributiva
Ecuaciones con denominadores: se multiplican ambos miembros por el mcm de los denominadores
Comprobación: sustituir la solución en la ecuación original para verificar
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Resuelve: 8x − 5 = 3x + 15.
💡 Pista: Pasa los términos con x a un lado y los números al otro.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 18x − 3x = 15 + 5
Paso 25x = 20
Paso 3x = 20 ÷ 5 = **4**
⚠️ Comprobación: 8(4) − 5 = 27; 3(4) + 15 = 27 ✓
Ejercicio 2Básico
Resuelve: 3(2x − 1) = 5x + 9.
💡 Pista: Primero elimina el paréntesis con la propiedad distributiva.
Paso 7**No tiene solución** (ecuación incompatible)
⚠️ Cuando las x desaparecen y queda una igualdad falsa, la ecuación no tiene solución.
Ejercicio 5Avanzado
La edad de un padre es el triple que la de su hijo. Dentro de 12 años, la edad del padre será el doble que la del hijo. ¿Qué edad tiene cada uno ahora?
💡 Pista: Llama x a la edad del hijo. La del padre es 3x. Plantea la ecuación con las edades dentro de 12 años.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Sea x = edad del hijo ahora. Padre = 3x
Paso 2Dentro de 12 años: hijo = x + 12, padre = 3x + 12
⚠️ Comprobación: sustituir x = 10/7 en la ecuación original y verificar la igualdad.
Tema 9 — Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado tiene la forma ax² + bx + c = 0. Se resuelven con la fórmula general x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a, aunque hay casos más sencillos: ecuaciones incompletas (falta b o c) que se resuelven despejando directamente. El discriminante (b²−4ac) indica cuántas soluciones reales tiene la ecuación.
El producto de dos números consecutivos es 182. ¿Cuáles son esos números?
💡 Pista: Si un número es x, el siguiente es x + 1. Plantea x(x+1) = 182.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Sea x el primer número: x(x + 1) = 182
Paso 2x² + x − 182 = 0
Paso 3Discriminante: Δ = 1 + 728 = 729; √729 = 27
Paso 4x = (−1 + 27)/2 = 26/2 = 13
Paso 5x = (−1 − 27)/2 = −28/2 = −14
Paso 6Soluciones: **13 y 14** (o **−14 y −13**)
⚠️ Si el problema pide números positivos, la respuesta es solo 13 y 14.
Tema 10 — Sistemas de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos (o más) ecuaciones con dos incógnitas. Resolverlo significa encontrar los valores de x e y que satisfacen ambas ecuaciones a la vez. Los métodos principales son sustitución (despejar una variable y sustituir), reducción/eliminación (sumar o restar las ecuaciones para eliminar una variable) e igualación.
Conceptos clave:
Sistema compatible determinado: tiene una única solución (las rectas se cortan en un punto)
Método de sustitución: despejar una incógnita en una ecuación y sustituir en la otra
Método de reducción: multiplicar ecuaciones por constantes para que al sumarlas se elimine una incógnita
Método de igualación: despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar
Comprobación: sustituir la solución en ambas ecuaciones originales
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Resuelve por sustitución: x − y = 1 ; 2x + 3y = 16.
💡 Pista: Despeja x en la primera ecuación y sustituye en la segunda.
Dos números suman 45 y su diferencia es 13. ¿Cuáles son?
💡 Pista: Plantea el sistema: x + y = 45, x − y = 13. Súmalos.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1x + y = 45
Paso 2x − y = 13
Paso 3Sumamos: 2x = 58 → **x = 29**
Paso 4y = 45 − 29 = **16**
⚠️ Comprobación: 29 + 16 = 45 ✓; 29 − 16 = 13 ✓
Tema 11 — Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: h² = a² + b². Se usa para calcular lados desconocidos de triángulos rectángulos y tiene muchas aplicaciones prácticas: distancias, alturas, diagonales…
Conceptos clave:
Triángulo rectángulo: tiene un ángulo de 90°. El lado mayor (opuesto al ángulo recto) es la hipotenusa
Teorema de Pitágoras: hipotenusa² = cateto₁² + cateto₂²
Ternas pitagóricas: conjuntos de tres enteros que cumplen el teorema (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25)…
Recíproco: si h² = a² + b², el triángulo es rectángulo
Aplicación: la altura de un triángulo isósceles divide la base en dos mitades, formando dos triángulos rectángulos
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Comprueba si el triángulo de lados 10, 24 y 26 cm es rectángulo.
💡 Pista: Comprueba si el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Lado mayor (posible hipotenusa): 26
Paso 226² = 676
Paso 310² + 24² = 100 + 576 = 676
Paso 4Como 676 = 676, **sí es un triángulo rectángulo** ✓
⚠️ 10, 24, 26 es una terna pitagórica (el doble de 5, 12, 13).
Ejercicio 2Básico
Un triángulo rectángulo tiene catetos de 9 cm y 12 cm. Calcula la hipotenusa.
💡 Pista: Aplica h² = a² + b² y despeja h.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1h² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225
Paso 2h = √225 = **15 cm**
⚠️ 9, 12, 15 es una terna pitagórica (el triple de 3, 4, 5).
Ejercicio 3Intermedio
Calcula la altura de un triángulo isósceles de base 12 cm y lados iguales de 10 cm.
💡 Pista: La altura cae perpendicularmente sobre la base dividiéndola en dos mitades de 6 cm. Se forma un triángulo rectángulo.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1La altura divide la base en dos: 12/2 = 6 cm
Una escalera de 5 m se apoya en una pared. El pie de la escalera está a 3 m de la base de la pared. ¿A qué altura llega la escalera?
💡 Pista: La escalera, la pared y el suelo forman un triángulo rectángulo. La escalera es la hipotenusa.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Hipotenusa = 5 m (escalera), cateto horizontal = 3 m
Paso 2h² + 3² = 5²
Paso 3h² = 25 − 9 = 16
Paso 4h = √16 = **4 m**
⚠️ Terna pitagórica 3, 4, 5.
Ejercicio 5Avanzado
Calcula la diagonal de un rectángulo de 11 cm de base y 6 cm de altura.
💡 Pista: La diagonal de un rectángulo forma un triángulo rectángulo con la base y la altura.
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Paso 1d² = 11² + 6² = 121 + 36 = 157
Paso 2d = √157 ≈ **12,53 cm**
⚠️ 157 es primo, así que la raíz no es exacta.
Ejercicio 6Avanzado
Un barco sale del puerto hacia el este 15 km y luego gira hacia el norte 20 km. ¿A qué distancia en línea recta está del puerto?
💡 Pista: El recorrido forma un triángulo rectángulo. La distancia en línea recta es la hipotenusa.
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Paso 1Cateto 1 (este): 15 km
Paso 2Cateto 2 (norte): 20 km
Paso 3d² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625
Paso 4d = √625 = **25 km**
⚠️ 15, 20, 25 es una terna pitagórica (el quíntuple de 3, 4, 5).
Tema 12 — Semejanza
Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma pero distinto tamaño: sus ángulos son iguales y sus lados son proporcionales. La razón de semejanza es el cociente entre lados homólogos. El teorema de Thales afirma que si se trazan rectas paralelas que cortan a dos secantes, los segmentos determinados son proporcionales. Las escalas son aplicaciones directas de la semejanza.
Conceptos clave:
Figuras semejantes: ángulos iguales y lados proporcionales
Razón de semejanza: k = lado de la figura ampliada / lado de la original
Teorema de Thales: rectas paralelas cortando a dos secantes producen segmentos proporcionales
Escala: relación entre la medida en el plano/mapa y la medida real. Ej: 1:40 000 significa que 1 cm en el plano = 40 000 cm reales
Criterios de semejanza de triángulos: AA (dos ángulos iguales), LAL (un ángulo igual y lados proporcionales), LLL (tres lados proporcionales)
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Ejercicio 1Básico
En un plano a escala 1:40 000, la distancia entre dos puntos mide 3,5 cm. ¿Cuál es la distancia real en metros?
💡 Pista: Multiplica la distancia del plano por el factor de escala y convierte a metros.
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Paso 1Distancia real = 3,5 × 40 000 = 140 000 cm
Paso 2Convertimos: 140 000 cm ÷ 100 = **1 400 m** (= 1,4 km)
Ejercicio 2Básico
Dos triángulos son semejantes. Los lados del menor miden 4, 6 y 8 cm. Si el lado mayor del triángulo grande mide 20 cm, ¿cuánto miden los otros dos lados?
💡 Pista: Calcula la razón de semejanza dividiendo los lados homólogos y aplícala a los demás.
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Paso 1Razón de semejanza: k = 20/8 = 2,5
Paso 2Lados del mayor: 4 × 2,5 = **10 cm** y 6 × 2,5 = **15 cm**
Ejercicio 3Intermedio
Un poste de 2,5 m proyecta una sombra de 4 m. A la misma hora, un edificio proyecta una sombra de 24 m. ¿Cuánto mide el edificio?
💡 Pista: Los triángulos formados por el objeto y su sombra son semejantes (el sol incide con el mismo ángulo).
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Paso 1Proporción: altura / sombra = constante
Paso 22,5 / 4 = h / 24
Paso 3h = (2,5 × 24) / 4 = 60 / 4 = **15 m**
⚠️ Este es un problema clásico de aplicación del teorema de Thales.
Ejercicio 4Intermedio
En un triángulo ABC, se traza una recta paralela a BC que corta a AB en D y a AC en E. Si AD = 3, DB = 5 y AE = 4,5, calcula EC.
💡 Pista: Por el teorema de Thales: AD/DB = AE/EC.
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Paso 1Thales: AD/DB = AE/EC
Paso 23/5 = 4,5/EC
Paso 3EC = (5 × 4,5)/3 = 22,5/3 = **7,5**
Ejercicio 5Avanzado
Una maqueta de un edificio está a escala 1:150. Si la maqueta mide 32 cm de alto y 18 cm de ancho, ¿cuáles son las dimensiones reales del edificio en metros?
💡 Pista: Multiplica cada medida de la maqueta por 150 y convierte a metros.
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Paso 1Alto real: 32 × 150 = 4 800 cm = **48 m**
Paso 2Ancho real: 18 × 150 = 2 700 cm = **27 m**
Ejercicio 6Avanzado
Dos triángulos semejantes tienen razón de semejanza k = 3. Si el área del triángulo pequeño es 14 cm², ¿cuál es el área del grande?
💡 Pista: Las áreas de figuras semejantes se relacionan como el cuadrado de la razón de semejanza.
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Paso 1Relación de áreas = k² = 3² = 9
Paso 2Área del grande = 14 × 9 = **126 cm²**
⚠️ Si la razón de semejanza de lados es k, la de áreas es k² y la de volúmenes es k³.
Tema 13 — Áreas y volúmenes
En este tema se calculan áreas laterales, totales y volúmenes de cuerpos geométricos: prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas. Es fundamental conocer las fórmulas de cada uno y saber identificar qué datos aporta el problema para aplicar la fórmula correcta.
Paso 3**Son iguales**. Esto ocurre siempre que h = 2r (la esfera cabe exactamente dentro del cilindro).
⚠️ Arquímedes demostró que el área de una esfera es igual al área lateral del cilindro circunscrito.
Tema 14 — Funciones y gráficas
Una función es una relación que asigna a cada valor de x un único valor de y. Las funciones lineales (y = mx + n) se representan como rectas en el plano. La pendiente (m) indica la inclinación y la ordenada en el origen (n) es donde la recta corta al eje Y. También se trabaja con la interpretación de gráficas en contextos reales.
Conceptos clave:
Función: relación que a cada x le asigna un único y. Se escribe y = f(x)
Dominio: valores posibles de x. Recorrido/imagen: valores posibles de y
Función lineal: y = mx + n. m = pendiente (subida/avance), n = ordenada en el origen
Tabla de valores: pares (x, y) que se obtienen sustituyendo x en la fórmula
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Ejercicio 1Básico
Representa la función y = −x + 4 haciendo una tabla de valores para x = 0, 1, 2, 3, 4.
💡 Pista: Sustituye cada valor de x en la fórmula para obtener y.
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Paso 1x = 0: y = −0 + 4 = 4 → (0, 4)
Paso 2x = 1: y = −1 + 4 = 3 → (1, 3)
Paso 3x = 2: y = −2 + 4 = 2 → (2, 2)
Paso 4x = 3: y = −3 + 4 = 1 → (3, 1)
Paso 5x = 4: y = −4 + 4 = 0 → (4, 0)
Paso 6**Recta descendente** que pasa por (0, 4) y (4, 0)
⚠️ La pendiente es −1 (baja 1 unidad por cada unidad que avanza) y la ordenada en el origen es 4.
Ejercicio 2Básico
Indica la pendiente y la ordenada en el origen de la función y = 2x − 3.
💡 Pista: Compara con la forma y = mx + n.
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Paso 1y = 2x − 3 → forma y = mx + n
Paso 2Pendiente: **m = 2** (la recta sube 2 unidades por cada 1 que avanza)
Paso 3Ordenada en el origen: **n = −3** (la recta corta al eje Y en (0, −3))
Ejercicio 3Intermedio
Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 5) y B(4, −1).
💡 Pista: Calcula la pendiente m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) y luego usa y − y₁ = m(x − x₁).
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Paso 1Pendiente: m = (−1 − 5)/(4 − 1) = −6/3 = −2
Paso 2Ecuación: y − 5 = −2(x − 1)
Paso 3y − 5 = −2x + 2
Paso 4**y = −2x + 7**
⚠️ Comprobación: para x=1 → y=−2+7=5 ✓; para x=4 → y=−8+7=−1 ✓
Ejercicio 4Intermedio
¿En qué punto se cortan las rectas y = −x + 4 e y = 2x − 3?
💡 Pista: Iguala las dos expresiones de y y resuelve la ecuación para x.
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Paso 1−x + 4 = 2x − 3
Paso 24 + 3 = 2x + x
Paso 37 = 3x → x = 7/3
Paso 4y = −(7/3) + 4 = −7/3 + 12/3 = 5/3
Paso 5Punto de corte: **(7/3, 5/3)**
⚠️ En decimal: aproximadamente (2,33; 1,67).
Ejercicio 5Avanzado
Un ciclista sale de su casa y la gráfica distancia-tiempo muestra: de 0 a 30 min recorre 10 km; de 30 a 50 min está parado; de 50 a 80 min recorre 15 km más. Calcula la velocidad media en cada tramo y la velocidad media total.
💡 Pista: Velocidad = distancia/tiempo. Convierte los minutos a horas.
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Paso 1Tramo 1: 10 km en 30 min = 0,5 h → v = 10/0,5 = **20 km/h**
Paso 2Tramo 2: 0 km en 20 min → v = **0 km/h** (parado)
Paso 3Tramo 3: 15 km en 30 min = 0,5 h → v = 15/0,5 = **30 km/h**
Paso 4Media total: distancia total / tiempo total = 25 km / (80 min = 4/3 h)
⚠️ La velocidad media NO es la media de las velocidades. Se calcula como distancia total entre tiempo total.
Ejercicio 6Avanzado
Una tarifa de móvil cobra 5 € fijos al mes más 0,12 € por cada minuto de llamada. a) Escribe la función coste. b) ¿Cuánto pagará alguien que habla 90 minutos? c) Si la factura es de 23 €, ¿cuántos minutos ha hablado?
💡 Pista: Es una función lineal donde m = minutos y C = coste.
⚠️ La pendiente (0,12) es el coste por minuto y la ordenada (5) es la cuota fija.
Cómo usar este solucionario para aprobar
La técnica del bolígrafo rojo es la más efectiva: haz tus ejercicios en azul, intenta resolver cada problema del módulo interactivo, y cuando veas la solución, anota en rojo dónde fallaste. Ese proceso de identificar exactamente tu error es lo que evita que lo repitas en el examen real.
Los ejercicios resueltos están ordenados de menor a mayor dificultad dentro de cada tema. Si un tema se te resiste, empieza por los básicos (verdes) y avanza hacia los avanzados (rojos) cuando domines los primeros.
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