Solucionario completo de Matemáticas 4 ESO SM Savia con todos los ejercicios resueltos paso a paso. 4 ESO es un curso clave de orientación que prepara para Bachillerato o FP.
En este solucionario de Matemáticas 4 ESO SM Savia encontrarás ejercicios interactivos con autocorrección, resúmenes de teoría por tema y soluciones paso a paso.
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Tema 1 — Números reales
Los números reales (ℝ) incluyen racionales (Q: fracciones y decimales exactos/periódicos) e irracionales (√2, π: decimales infinitos no periódicos). La recta real representa todos los números. Intervalos: abierto (a,b), cerrado [a,b], semiabierto. Valor absoluto: |x| = distancia al 0.
Conceptos clave:
ℝ = Q ∪ I: reales = racionales + irracionales
Intervalo abierto: (a,b) no incluye extremos
|x|: valor absoluto, distancia al 0
√2 ≈ 1,414: irracional
π ≈ 3,14159: irracional
0/5 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Clasifica √17 como racional o irracional
💡 Pista: ¿17 es un cuadrado perfecto?
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Paso 117 no es cuadrado perfecto → **irracional**
Ejercicio 2Básico
Representa en intervalos: −5 < x ≤ 7
💡 Pista: < abierto ( y ≤ cerrado ]
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Paso 1**(-5, 7]**
Ejercicio 3Básico
Calcula: |-7| + |5|
💡 Pista: Valor absoluto siempre positivo
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Paso 17 + 5 = **12**
Ejercicio 4Intermedio
Aproxima √12 con 1 decimal
💡 Pista: Busca entre qué enteros está
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Paso 1√12 ≈ **3.5**
Ejercicio 5Avanzado
Calcula el error absoluto de usar 3.14 para π
💡 Pista: |π − 3.14| = |3.1416 − 3.14|
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Paso 1|3.1416... − 3.14| ≈ **0.0016**
Tema 2 — Potencias y radicales
Conceptos clave:
Potencia de exponente negativo: a⁻ⁿ = 1/aⁿ
Potencia de exponente fraccionario: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
Fracciones algebraicas: simplificar, sumar (mcd de denominadores), multiplicar/dividir
0/5 ejercicios completados
Ejercicio 1Intermedio
Factoriza: x² − 8x + 16
💡 Pista: Es un cuadrado perfecto: (a−b)²
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Paso 1x² − 8x + 16 = **(x−4)²**
Ejercicio 2Intermedio
Divide: (x³ − 64) ÷ (x − 4). ¿Resto?
💡 Pista: Si x=4 es raíz, el resto es 0 (Ruffini)
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Paso 1P(4) = 4³ − 64 = 0 → **Resto = 0**
Ejercicio 3Intermedio
Halla las raíces de: x² − 9x + 20
💡 Pista: Factoriza o usa la fórmula cuadrática
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Paso 1(x−4)(x−5) = 0 → x = **4, 5**
Ejercicio 4Avanzado
Simplifica: (x² − 16)/(x + 4)
💡 Pista: Numerador es diferencia de cuadrados
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Paso 1(x+4)(x−4)/(x+4) = **x − 4**
Ejercicio 5Básico
¿Cuál es el grado de: 3x⁴ − 2x² + x − 7?
💡 Pista: El grado es el mayor exponente
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Paso 1Mayor exponente = **4**
Tema 4 — Ecuaciones e inecuaciones
Las ecuaciones de segundo grado ax²+bx+c=0 se resuelven con la fórmula x=(-b±√(b²-4ac))/2a. Las ecuaciones bicuadradas ax⁴+bx²+c=0 se resuelven con el cambio t=x². Las inecuaciones de primer y segundo grado se resuelven como ecuaciones pero vigilando el signo al multiplicar por negativo.
Conceptos clave:
Fórmula cuadrática: x=(-b±√Δ)/2a
Δ>0: 2 soluciones
Δ=0: 1 solución doble
Δ<0: sin solución real
Bicuadrada: cambio t=x²
0/3 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Resuelve: x²+2x-8=0. Mayor solución.
💡 Pista: Fórmula o factorización.
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Paso 1x=2, x=-4 → Mayor: **2**
Ejercicio 2Intermedio
¿Cuántas soluciones tiene x²+4x+5=0?
💡 Pista: Δ=16-20<0
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Paso 1Δ=16-20=-4<0 → **0 soluciones**
Ejercicio 3Avanzado
Resuelve: x⁴-5x²+4=0. Escribe la mayor solución positiva.
Clasifica: x + y = 3, 2x + 2y = 6 (compatible determinado/indeterminado/incompatible)
💡 Pista: ¿Son ecuaciones proporcionales?
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Paso 1La 2ª es 2× la 1ª → **compatible indeterminado**
Ejercicio 4Intermedio
Resuelve gráficamente: y = x + 1, y = −x + 5. ¿Punto de corte (x)?
💡 Pista: Iguala: x + 1 = −x + 5
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Paso 12x = 4 → x = **2**
Ejercicio 5Avanzado
La suma de dos números es 17 y el doble del primero menos el segundo es 5. ¿Cuál es el primero?
💡 Pista: x + y = 17, 2x − y = 5. Suma ambas.
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Paso 13x = 22 → x = **7.3333333333333**
Tema 6 — Semejanza y trigonometría
La trigonometría estudia las relaciones entre lados y ángulos de triángulos. Razones trigonométricas: sen α = cateto opuesto/hipotenusa, cos α = cateto adyacente/hipotenusa, tan α = cateto opuesto/cateto adyacente. Relación fundamental: sen²α + cos²α = 1. Resolución de triángulos: teorema del seno y del coseno.
Conceptos clave:
sen α = opuesto/hipotenusa
cos α = adyacente/hipotenusa
tan α = opuesto/adyacente
sen²+cos²=1
Teorema del seno y del coseno
0/5 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
sen(30°) = ?
💡 Pista: Valor notable: sen 30° = 1/2
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Paso 1sen(30°) = **0.5**
Ejercicio 2Básico
cos(60°) = ?
💡 Pista: cos 60° = sen 30°
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Paso 1cos(60°) = **0.5**
Ejercicio 3Intermedio
En un triángulo rectángulo con catetos 5 y 6, calcula la tangente del ángulo menor
💡 Pista: tan = cateto opuesto / cateto adyacente
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Paso 1tan α = 5/6 = **0.83**
Ejercicio 4Intermedio
Razón de semejanza entre dos triángulos si los lados son 5 y 10
💡 Pista: r = lado pequeño / lado grande
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Paso 15/10 = **1/2**
Ejercicio 5Básico
tan(45°) = ?
💡 Pista: En 45° los catetos son iguales
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Paso 1tan(45°) = 1/1 = **1**
Tema 7 — Geometría analítica
Conceptos clave:
Distancia entre puntos: d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]
Punto medio: M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
Ecuación de la recta: y = mx + n (pendiente-ordenada); Ax + By + C = 0 (general)
Posición relativa: secantes (se cortan), paralelas, coincidentes
0/5 ejercicios completados
Ejercicio 1Intermedio
Distancia entre (3,4) y (6,8)
💡 Pista: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
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Paso 1d = √(9+16) = **5**
Ejercicio 2Básico
Punto medio entre (3,4) y (6,8). Coordenada x:
💡 Pista: xₘ = (x₁+x₂)/2
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Paso 1xₘ = (3+6)/2 = **4.5**
Ejercicio 3Intermedio
Pendiente de la recta que pasa por (3,4) y (6,8)
💡 Pista: m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
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Paso 1m = 4/3 = **1.33**
Ejercicio 4Intermedio
Ecuación de la recta con pendiente 2 que pasa por (0, 5)
💡 Pista: y = mx + n, con m=2 y n=5
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Paso 1**y = 2x + 5**
Ejercicio 5Básico
¿Son paralelas y = 3x + 1 e y = 3x − 4? (si/no)
💡 Pista: Paralelas = misma pendiente
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Paso 1Ambas tienen m = 3 → **sí, son paralelas**
Tema 8 — Funciones: características y tipos
Una función asigna a cada x un único y. Dominio: valores de x posibles. Recorrido: valores de y. Crecimiento/decrecimiento: si x aumenta, ¿y sube o baja? Máximos y mínimos: puntos donde cambia de creciente a decreciente o viceversa. Continuidad: sin saltos. Tasa de variación media = (f(b)-f(a))/(b-a).
Conceptos clave:
Dominio: valores de x posibles
Recorrido: valores de y
Creciente: si x↑ entonces y↑
Máximo/mínimo: cambio creciente↔decreciente
TVM = (f(b)-f(a))/(b-a)
0/5 ejercicios completados
Ejercicio 1Intermedio
¿Cuál es el dominio de f(x) = 1/(x − 4)?
💡 Pista: El denominador no puede ser 0
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Paso 1x − 4 ≠ 0 → x ≠ 4 → **ℝ − 4**
Ejercicio 2Intermedio
¿Es par, impar o ninguna: f(x) = x³?
💡 Pista: f(-x) = -f(x) → impar
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Paso 1f(−x) = (−x)³ = −x³ = −f(x) → **impar**
Ejercicio 3Intermedio
¿Cuántos cortes con el eje X tiene f(x) = x² − 16?
💡 Pista: x² = 16 tiene dos soluciones
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Paso 1x = ±4 → **2 cortes**
Ejercicio 4Básico
Si f(x) = x² + 1, calcula f(4)
💡 Pista: Sustituye x por 4
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Paso 14² + 1 = 16 + 1 = **17**
Ejercicio 5Avanzado
¿Es creciente f(x) = −x² en (0, +∞)? (si/no)
💡 Pista: Prueba con x=1 y x=2
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Paso 1f(1)=−1, f(2)=−4, va disminuyendo → **no, es decreciente**