Examen Matemáticas II Cataluña 2022 Resuelto | Selectividad
El examen de Matemáticas II de las PAU 2022 ordinaria de Cataluña (Sèrie 2) abría con la función f'(x)=3x²−12x y cerraba con un problema verbal de optimización de un trapecio rectangular de 30 m². Entre medias, sistemas con parámetro, geometría 3D y una ecuación matricial. Estructura clásica: 6 cuestiones, elegir 4, 2,5 puntos cada una.
Los bloques del temario Matemáticas II (análisis (derivadas, integrales, asíntotas), álgebra lineal (matrices, sistemas), geometría 3D y optimización) aparecen distribuidos en los 6 ejercicios del modelo 2022. Cuestiones identificables: Análisis, Álgebra lineal, Geometría 3D, Matrices, Optimización. La libre elección permite descartar el bloque más flojo y cubrir 4 de los presentes con seguridad.
Esta página recoge la ficha completa del examen oficial publicado por la Oficina d’Accés a la Universitat (Generalitat de Catalunya), el análisis ejercicio a ejercicio y la estrategia recomendada para esta convocatoria concreta. No incluimos resolución numérica: nos centramos en identificar el tipo de problema, el método aplicable, las fórmulas y los errores típicos. Recuerda la regla del examen: responder 4 de 6 cuestiones (libre elección).
📑 Índice de contenidos
Ficha del examen
| CCAA | Cataluña |
| Asignatura | Matemáticas II |
| Año | 2022 |
| Convocatoria | Ordinaria · Sèrie 2 |
| Duración | 90 minutos |
| Estructura | Responder 4 de 6 cuestiones (libre elección). Si responde a más, solo se valoran las 4 primeras. |
| Puntuación | 2.5 puntos por ejercicio, total 10 |
| Coordina | Oficina d’Accés a la Universitat — Generalitat de Catalunya |
📄 Descargar el examen oficial (PDF en gencat.cat)
Aviso: enlazamos al PDF oficial alojado en gencat.cat. No alojamos copia. El desglose que sigue es nuestro análisis pedagógico del modelo, no incluye la corrección numérica oficial.
Análisis del examen Matemáticas II Cataluña 2022
El modelo 2022 de Matemáticas II en Cataluña presenta 6 ejercicios a elegir 4, con 90 minutos para resolverlos. La cobertura temática del año fue: Análisis, Álgebra lineal, Geometría 3D, Análisis (polinomios), Matrices, Optimización (problema verbal). Por bloque, este modelo destaca por la presencia de análisis en la primera cuestión y optimización (problema verbal) en la última.
Particularidades de la convocatoria 2022: Modelo Cataluña 2022 Mat II: estructura clásica 6 cuestiones-elegir-4 (vs Madrid 8-elegir-4). Cuestión 4 combina dos partes independientes (Hallar polinomio + calcular área usando Bolzano), señal de la tendencia catalana a multi-bloque por cuestión. Optimización aplicada (Q6 trapecio) sigue siendo cuestión estrella. Cuestión 5 (matriz inversa con 3 parámetros) exige álgebra más fina que Madrid.
Qué cayó: desglose por ejercicios
1 — Dada f'(x)=3x²−12x
Bloque: Análisis · Dificultad: ⭐⭐⭐ · Vale: 2.5 pts.
Qué pide: Dada f'(x)=3x²−12x: hallar f(x) sabiendo corte en x=1.
Qué evalúa: derivabilidad, integrabilidad y estudio gráfico de funciones.
Cómo abordarlo: localiza dominio y discontinuidades; estudia signo de f’ para extremos y f» para inflexiones; calcula límites en ±∞ y en discontinuidades para asíntotas.
2 — Sistema dependiente del parámetro real a
Bloque: Álgebra lineal · Dificultad: ⭐⭐⭐ · Vale: 2.5 pts.
Qué pide: Sistema dependiente del parámetro real a: discusión y resolución para a=2.
Qué evalúa: discusión de un sistema parametrizado y resolución por Rouché-Frobenius.
Cómo abordarlo: calcula rangos de A y A|B con menores o reducción; iguala rango y nº de incógnitas para SCD, mayor para SCI, distinto para SI.
3 — Posición relativa recta r y plano π
Bloque: Geometría 3D · Dificultad: ⭐⭐⭐ · Vale: 2.5 pts.
Qué pide: Posición relativa recta r y plano π: x−2y+4z−4=0.
Qué evalúa: posiciones relativas, perpendicularidad y lugares geométricos en el espacio.
Cómo abordarlo: usa vectores directores y normales; para mediatriz aplica |PA|=|PB| y obtienes el plano perpendicular al segmento AB.
4 — Función polinómica grado 3 con corte (0,5), tangente horizontal en x=1 y g»(x)=2x+1
Bloque: Análisis · Dificultad: ⭐⭐⭐ · Vale: 2.5 pts.
Qué pide: Función polinómica grado 3 con corte (0,5), tangente horizontal en x=1 y g»(x)=2x+1.
Qué evalúa: determinación de un polinomio a partir de condiciones y cálculo de áreas con integral definida.
Cómo abordarlo: monta el sistema lineal con las condiciones; aplica Bolzano para verificar raíces antes de integrar entre límites.
5 — Matriz que depende de a,b,c
Bloque: Matrices · Dificultad: ⭐⭐⭐ · Vale: 2.5 pts.
Qué pide: Matriz que depende de a,b,c: hallar X que satisfaga ecuación matricial.
Qué evalúa: ecuaciones matriciales y cálculo de inversas con parámetros.
Cómo abordarlo: despeja X aislando con multiplicaciones por la izquierda o derecha (no confundir); la inversa existe ⇔ det ≠ 0.
6 — Trapecio rectangular de área 30 m² con base mayor doble de la menor
Bloque: Optimización · Dificultad: ⭐⭐⭐ · Vale: 2.5 pts.
Qué pide: Trapecio rectangular de área 30 m² con base mayor doble de la menor: minimizar el lado ….
Qué evalúa: formulación de una función a optimizar con restricción geométrica/económica.
Cómo abordarlo: declara variables, expresa restricción, sustituye para reducir a una variable y deriva igualando a cero.
Cómo afrontar este modelo 2022 (LOMCE)
El modelo Cataluña 2022 de Matemáticas II (responder 4 de 6 cuestiones (libre elección). si responde a más, solo se valoran las 4 primeras.) exige una estrategia adaptada a esta convocatoria concreta:
- Empieza con la cuestión 1 (Dada f'(x)=3x²−12x): aporta los primeros 2.5 puntos con un esquema mecánico (discusión Rouché-Frobenius / Barrow / definición). Resérvalo solo para los primeros minutos.
- Sigue con la cuestión 2 (Sistema dependiente del parámetro real a): si la nomenclatura/método está claro, son 2.5 puntos cómodos en menos de 15 minutos. Es tu segundo seguro de la nota.
- Como tercera opción aborda con la cuestión 3 (Posición relativa recta r y plano π): tu seguro de bloque (asegúrate de cubrir un bloque distinto a los dos primeros). Cuida la justificación de cada paso, OAU exige razonar.
- Gestión del tiempo: con 90 minutos para responder 4 de los 6 ejercicios planteados, reserva ~20 minutos por ejercicio + 10 de revisión. Si te atascas más de 25 minutos en uno, salta y vuelve al final..
Lecciones del modelo Cataluña 2022 (Matemáticas II)
- La cuestión 1 (Dada f'(x)=3x²−12x: hallar f(x) sabiendo corte en x=1) recoge un patrón típico del bloque (análisis) en Cataluña; revisa el método y la justificación porque la OAU penaliza la solución correcta sin razonar.
- La cuestión 2 (Sistema dependiente del parámetro real a: discusión y resolución para a=2) discute según el parámetro (rangos de A y A|B con menores). Los valores que anulan determinantes definen SI/SCI/SCD.
- La cuestión 3 (Posición relativa recta r y plano π: x−2y+4z−4=0) trabaja vectores en el espacio (posiciones relativas, perpendicularidad, distancia). El producto vectorial y el escalar son tu Navaja Suiza.
- La cuestión 4 (Función polinómica grado 3 con corte (0,5), tangente horizontal en x=1 y g»(x)=2x+1) exige montar un sistema 4×4 con f(x), f'(x) y f»(x) en los puntos dados. La condición de punto de inflexión es f»(x₀)=0.
- La cuestión 6 (Trapecio rectangular de área 30 m² con base mayor doble de la menor: minimizar el lado oblicuo D) minimiza el lado oblicuo D de un trapecio rectangular (A=30 m², base mayor doble de la menor). Sustituye la restricción para reducir a una variable y deriva.
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El solucionario te sirve para entender los temas; esta página te entrena para el formato examen PAU.
