Solucionario completo del libro de Matemáticas 2 ESO Bruño. Incluye todos los ejercicios resueltos paso a paso con explicaciones claras. En 2º de la ESO se consolidan los números racionales, las ecuaciones y la geometría del plano y del espacio, y este solucionario te ayudará a dominar cada concepto.
En este solucionario de Matemáticas 2 ESO Bruño encontrarás ejercicios interactivos con autocorrección instantánea, resúmenes de teoría por tema y soluciones paso a paso con explicación detallada. Cada ejercicio incluye autoevaluación con pistas progresivas y una barra de progreso para que controles cuánto llevas de cada tema. Todo el contenido está adaptado al currículo oficial de 2º ESO.
👆 Haz click en un tema del índice de arriba para ver los ejercicios resueltos, la teoría resumida y la autoevaluación interactiva.
Tema 1 — Números enteros y operaciones
Los números enteros (ℤ) amplían los naturales incluyendo los negativos y el cero. Las operaciones combinadas exigen respetar la jerarquía: paréntesis, potencias, multiplicaciones/divisiones y, por último, sumas/restas. Dominar la regla de signos es imprescindible para operar sin errores.
⚠️ Recuerda: restar un número negativo equivale a sumar su positivo.
Ejercicio 6Avanzado
La temperatura a las 6:00 h era de −11 °C. Subió 7 °C por la mañana, bajó 4 °C a mediodía y subió 9 °C por la tarde. ¿Cuál fue la temperatura final?
💡 Pista: Traduce las subidas como sumas y las bajadas como restas.
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Paso 1Temperatura inicial: −11 °C
Paso 2Tras subir 7 °C: −11 + 7 = −4 °C
Paso 3Tras bajar 4 °C: −4 − 4 = −8 °C
Paso 4Tras subir 9 °C: −8 + 9 = **1 °C**
Tema 2 — Divisibilidad
La divisibilidad estudia cuándo un número entero divide a otro de forma exacta. La descomposición en factores primos permite hallar el MCD y el mcm de dos o más números. Estas herramientas son fundamentales para simplificar fracciones y buscar denominadores comunes.
Conceptos clave:
Número primo: solo tiene dos divisores, 1 y él mismo (2, 3, 5, 7, 11, …)
Número compuesto: tiene más de dos divisores
Descomposición en factores primos: escribir un número como producto de primos (ej. 60 = 2² × 3 × 5)
MCD: producto de los factores primos comunes con menor exponente
mcm: producto de todos los factores primos con mayor exponente
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Descompón 252 en factores primos.
💡 Pista: Divide entre los primos más pequeños: 2, 3, 5, 7… hasta llegar a 1.
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Paso 1252 ÷ 2 = 126
Paso 2126 ÷ 2 = 63
Paso 363 ÷ 3 = 21
Paso 421 ÷ 3 = 7
Paso 57 ÷ 7 = 1
Paso 6252 = **2² × 3² × 7**
Ejercicio 2Básico
Calcula el MCD de 56 y 84.
💡 Pista: Descompón ambos en primos y toma los factores comunes con el menor exponente.
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Paso 156 = 2³ × 7
Paso 284 = 2² × 3 × 7
Paso 3Factores comunes con menor exponente: 2² × 7 = 4 × 7 = **28**
Ejercicio 3Intermedio
Calcula el mcm de 30 y 45.
💡 Pista: Descompón en primos y toma todos los factores con el mayor exponente.
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Paso 130 = 2 × 3 × 5
Paso 245 = 3² × 5
Paso 3Todos los factores con mayor exponente: 2 × 3² × 5 = 2 × 9 × 5 = **90**
Paso 3MCD: factores comunes con menor exponente → 2 × 7 = **14**
Paso 4mcm: todos los factores con mayor exponente → 2 × 3 × 5 × 7 = **210**
⚠️ Se cumple siempre: MCD(a,b) × mcm(a,b) = a × b → 14 × 210 = 2940 = 42 × 70 ✓
Ejercicio 5Avanzado
Un florista tiene 84 rosas y 126 claveles. Quiere hacer ramos iguales, lo más grandes posibles, sin mezclar flores ni que sobre ninguna. ¿Cuántos ramos puede hacer y cuántas flores lleva cada ramo?
💡 Pista: El número de ramos es el MCD de 84 y 126.
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Paso 184 = 2² × 3 × 7
Paso 2126 = 2 × 3² × 7
Paso 3MCD(84, 126) = 2 × 3 × 7 = 42 ramos
Paso 4Rosas por ramo: 84 ÷ 42 = 2
Paso 5Claveles por ramo: 126 ÷ 42 = 3
Paso 6**42 ramos con 2 rosas y 3 claveles cada uno**
Ejercicio 6Avanzado
Dos autobuses salen de la misma estación: uno cada 18 minutos y otro cada 24 minutos. Si coinciden a las 8:00, ¿a qué hora vuelven a coincidir?
💡 Pista: Calcula el mcm de 18 y 24 para saber cuándo vuelven a coincidir.
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Paso 118 = 2 × 3²
Paso 224 = 2³ × 3
Paso 3mcm(18, 24) = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72 minutos
Paso 48:00 + 72 min = 8:00 + 1 h 12 min = **9:12 h**
Tema 3 — Fracciones
Las fracciones representan partes de un todo y son la base del cálculo con números racionales. Para sumar o restar fracciones es necesario encontrar un denominador común, mientras que la multiplicación y la división siguen reglas directas. Saber calcular la fracción de una cantidad es esencial en problemas de la vida real.
Conceptos clave:
Fracción equivalente: dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad (a/b = (a×k)/(b×k))
Suma/resta con distinto denominador: buscar el mcm de los denominadores para reducir a común denominador
Multiplicación: numerador × numerador y denominador × denominador
División: multiplicar por la fracción inversa (a/b ÷ c/d = a/b × d/c)
Fracción de una cantidad: (a/b) de C = (a × C) / b
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Calcula: 11/6 + 5/8
💡 Pista: Busca el mcm de 6 y 8 para hallar el denominador común.
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Paso 1mcm(6, 8) = 24
Paso 211/6 = 44/24
Paso 35/8 = 15/24
Paso 444/24 + 15/24 = 59/24
Paso 559/24 es irreducible → **59/24**
Ejercicio 2Básico
Calcula: 7/4 × 2/9
💡 Pista: Multiplica numerador por numerador y denominador por denominador; luego simplifica.
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Paso 1Numeradores: 7 × 2 = 14
Paso 2Denominadores: 4 × 9 = 36
Paso 3Resultado: 14/36
Paso 4Simplificamos entre 2: **7/18**
Ejercicio 3Intermedio
Calcula: 13/5 ÷ 4/15
💡 Pista: Dividir es multiplicar por la fracción inversa: 13/5 × 15/4.
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Paso 1Invertimos la segunda fracción: 13/5 × 15/4
Paso 2Numeradores: 13 × 15 = 195
Paso 3Denominadores: 5 × 4 = 20
Paso 4Resultado: 195/20
Paso 5Simplificamos entre 5: **39/4**
Ejercicio 4Intermedio
Calcula los 4/7 de 91.
💡 Pista: Multiplica 91 por 4 y divide entre 7.
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Paso 1(4/7) × 91 = (4 × 91) / 7
Paso 24 × 91 = 364
Paso 3364 ÷ 7 = **52**
Ejercicio 5Avanzado
Calcula: 5/3 − 7/12 + 3/8
💡 Pista: El mcm de 3, 12 y 8 es 24.
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Paso 1mcm(3, 12, 8) = 24
Paso 25/3 = 40/24
Paso 37/12 = 14/24
Paso 43/8 = 9/24
Paso 540/24 − 14/24 + 9/24 = 35/24
Paso 635/24 es irreducible → **35/24**
Ejercicio 6Avanzado
En una clase de 35 alumnos, 2/5 practican fútbol y 1/7 practican baloncesto. ¿Cuántos alumnos no practican ninguno de estos dos deportes?
💡 Pista: Calcula cuántos practican cada deporte y réstalos del total.
⚠️ Se asume que ningún alumno practica ambos deportes a la vez.
Tema 4 — Números decimales
Los números decimales son otra forma de expresar fracciones. Todo decimal exacto o periódico puede convertirse en fracción generatriz. Operar con decimales exige cuidado con la colocación de la coma, especialmente en multiplicaciones y divisiones.
Conceptos clave:
Decimal exacto: tiene un número finito de cifras decimales (0,75 = 3/4)
Decimal periódico puro: el periodo comienza justo tras la coma (0,333… = 1/3)
Decimal periódico mixto: hay cifras no periódicas antes del periodo (0,1666… = 1/6)
Fracción generatriz: la fracción irreducible que origina el decimal
Aproximación y redondeo: truncar o redondear a un número dado de cifras decimales
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Convierte 2,375 en fracción.
💡 Pista: 2,375 tiene 3 cifras decimales: escríbelo como 2375/1000 y simplifica.
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Paso 12,375 = 2375/1000
Paso 2Simplificamos entre 5: 475/200
Paso 3Simplificamos entre 5: 95/40
Paso 4Simplificamos entre 5: **19/8**
Ejercicio 2Intermedio
Convierte 0,363636… en fracción.
💡 Pista: Es un decimal periódico puro con periodo 36. La fracción generatriz se obtiene poniendo el periodo entre tantos nueves como cifras tiene.
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Paso 1Sea x = 0,363636…
Paso 2Periodo: 36 (2 cifras)
Paso 3Fracción generatriz: 36/99
Paso 4Simplificamos entre 9: **4/11**
Ejercicio 3Intermedio
Calcula: 4,36 + 2,875 − 1,09
💡 Pista: Alinea las comas decimales y opera.
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Paso 14,360 + 2,875 = 7,235
Paso 27,235 − 1,090 = **6,145**
Ejercicio 4Intermedio
Calcula: 3,14 × 2,5
💡 Pista: Multiplica sin coma y luego coloca tantas cifras decimales como la suma de decimales de ambos factores.
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Paso 1Multiplicamos sin coma: 314 × 25 = 7850
Paso 2Cifras decimales: 2 + 1 = 3
Paso 3Colocamos la coma: 7,850 = **7,85**
Ejercicio 5Avanzado
Convierte 1,2777… (periodo 7) en fracción.
💡 Pista: Es un decimal periódico mixto. Parte entera 1, parte no periódica 2, periodo 7.
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Paso 1Sea x = 1,2777…
Paso 210x = 12,777…
Paso 3100x = 127,777…
Paso 4100x − 10x = 127,777… − 12,777… = 115
Paso 590x = 115 → x = 115/90
Paso 6Simplificamos entre 5: **23/18**
Ejercicio 6Avanzado
Ordena de menor a mayor: 7/9, 0,78, 3/4.
💡 Pista: Convierte todo a decimales para comparar.
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Paso 17/9 = 0,777…
Paso 20,78 = 0,78
Paso 33/4 = 0,75
Paso 4Ordenamos: 0,75 < 0,777… < 0,78
Paso 5**3/4 < 7/9 < 0,78**
Tema 5 — Potencias y raíces cuadradas
Las potencias simplifican la escritura de productos repetidos y son clave para la notación científica. Las propiedades de las potencias (producto, cociente, potencia de potencia) permiten simplificar expresiones. La raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado.
Conceptos clave:
Potencia: aⁿ = a × a × … × a (n veces)
Producto de potencias con igual base: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Cociente de potencias con igual base: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
⚠️ Base negativa con exponente impar da resultado negativo.
Ejercicio 2Básico
Calcula: 2⁷
💡 Pista: Multiplica 2 siete veces.
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Paso 12¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16
Paso 22⁵ = 32, 2⁶ = 64, 2⁷ = **128**
Ejercicio 3Intermedio
Calcula: √324
💡 Pista: Busca un número que multiplicado por sí mismo dé 324. Prueba con 18.
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Paso 1Descomponemos: 324 = 2² × 3⁴
Paso 2√324 = √(2² × 3⁴) = 2 × 3² = 2 × 9 = **18**
Ejercicio 4Intermedio
Expresa 9,1 × 10⁻⁴ en notación decimal.
💡 Pista: Exponente −4 significa mover la coma 4 posiciones a la izquierda.
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Paso 19,1 × 10⁻⁴ → movemos la coma 4 posiciones a la izquierda
Paso 29,1 → 0,91 → 0,091 → 0,0091 → 0,00091
Paso 3**0,00091**
Ejercicio 5Avanzado
Simplifica: (3⁵ × 3²) ÷ 3⁴
💡 Pista: Aplica las propiedades de potencias con la misma base.
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Paso 1Producto: 3⁵ × 3² = 3⁵⁺² = 3⁷
Paso 2Cociente: 3⁷ ÷ 3⁴ = 3⁷⁻⁴ = 3³
Paso 33³ = **27**
Ejercicio 6Avanzado
La distancia media de la Tierra al Sol es aproximadamente 149 600 000 km. Exprésala en notación científica.
💡 Pista: Mueve la coma hasta obtener un número entre 1 y 10, y cuenta las posiciones.
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Paso 1149 600 000 → 1,496 (movemos la coma 8 posiciones a la izquierda)
Paso 2**1,496 × 10⁸ km**
Tema 6 — Proporcionalidad numérica
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por el mismo. Son inversamente proporcionales si al multiplicar una, la otra queda dividida. Las razones y proporciones permiten resolver problemas cotidianos mediante reglas de tres.
Conceptos clave:
Razón: cociente entre dos cantidades (a:b o a/b)
Proporción: igualdad de dos razones (a/b = c/d)
Proporcionalidad directa: si una magnitud se duplica, la otra también (y/x = k constante)
Proporcionalidad inversa: si una magnitud se duplica, la otra se reduce a la mitad (x × y = k constante)
Regla de tres: método para hallar el cuarto término de una proporción
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
La razón entre dos cantidades es 5:9. Si la primera es 35, ¿cuánto vale la segunda?
💡 Pista: Plantea la proporción 5/9 = 35/x y despeja x.
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Paso 15/9 = 35/x
Paso 2x = (35 × 9) / 5
Paso 3x = 315 / 5 = **63**
Ejercicio 2Básico
Si 7 libros cuestan 45,50 €, ¿cuánto cuestan 11 libros?
💡 Pista: Es proporcionalidad directa: más libros → más coste.
Si 6 trabajadores tardan 10 días en terminar una obra, ¿cuántos días tardarán 4 trabajadores?
💡 Pista: Es proporcionalidad inversa: menos trabajadores → más días.
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Paso 1Proporcionalidad inversa: trabajadores × días = constante
Paso 26 × 10 = 4 × x
Paso 360 = 4x
Paso 4x = 60 / 4 = **15 días**
Ejercicio 4Intermedio
Un coche recorre 225 km con 15 litros de gasolina. ¿Cuántos litros necesita para recorrer 390 km?
💡 Pista: Es directamente proporcional: más km → más litros.
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Paso 115/225 = x/390
Paso 2x = (15 × 390) / 225
Paso 3x = 5850 / 225 = **26 litros**
Ejercicio 5Avanzado
Tres amigos se reparten 270 € en proporción 2:3:4. ¿Cuánto recibe cada uno?
💡 Pista: Suma las partes (2+3+4 = 9) y calcula cuánto vale cada parte.
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Paso 1Total de partes: 2 + 3 + 4 = 9
Paso 2Valor de cada parte: 270 / 9 = 30 €
Paso 3Primero: 2 × 30 = 60 €
Paso 4Segundo: 3 × 30 = 90 €
Paso 5Tercero: 4 × 30 = 120 €
Paso 6**60 €, 90 € y 120 €**
⚠️ Comprobación: 60 + 90 + 120 = 270 ✓
Ejercicio 6Avanzado
Una fuente llena un depósito de 540 litros en 9 horas. Si se instala otra fuente que llena el mismo depósito en 6 horas, ¿cuánto tardarán las dos juntas?
💡 Pista: Calcula el caudal de cada fuente (litros/hora) y súmalos.
Un porcentaje expresa una proporción sobre 100. Los porcentajes permiten calcular aumentos y descuentos, y aparecen constantemente en la vida cotidiana (rebajas, impuestos, intereses). Los porcentajes sucesivos no se suman directamente: se aplican uno tras otro.
Conceptos clave:
Porcentaje: p% de C = (p/100) × C
Aumento porcentual: cantidad final = C × (1 + p/100)
Descuento porcentual: cantidad final = C × (1 − p/100)
Porcentajes sucesivos: se aplican multiplicando factores, no sumando porcentajes
Porcentaje inverso: si conoces el resultado tras el porcentaje, despejas la cantidad original
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Calcula el 35 % de 240.
💡 Pista: Multiplica 240 por 35 y divide entre 100.
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Paso 135 % de 240 = (35/100) × 240
Paso 2(35 × 240) / 100 = 8400 / 100 = **84**
Ejercicio 2Básico
Un artículo cuesta 180 € y le aplican un aumento del 12 %. ¿Cuál es el nuevo precio?
💡 Pista: Nuevo precio = 180 × 1,12
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Paso 1Aumento: 180 × 0,12 = 21,60 €
Paso 2Nuevo precio: 180 + 21,60 = **201,60 €**
⚠️ Alternativamente: 180 × 1,12 = 201,60 €
Ejercicio 3Intermedio
En unas rebajas, un abrigo de 320 € tiene un descuento del 25 %. ¿Cuánto se paga?
⚠️ Un descuento del 20 % seguido de otro del 5 % NO es lo mismo que un 25 %. El descuento total equivale al 24 %.
Ejercicio 5Avanzado
Después de una rebaja del 30 %, un televisor cuesta 455 €. ¿Cuál era el precio original?
💡 Pista: Si le quitaron el 30 %, el precio actual es el 70 % del original: 455 = 0,70 × P.
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Paso 1Precio actual = 70 % del original
Paso 2455 = 0,70 × P
Paso 3P = 455 / 0,70 = **650 €**
Ejercicio 6Avanzado
En una ciudad de 85 000 habitantes, la población crece un 4 % anual. ¿Cuántos habitantes habrá dentro de 3 años?
💡 Pista: Población = 85 000 × (1,04)³.
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Paso 1Año 1: 85 000 × 1,04 = 88 400
Paso 2Año 2: 88 400 × 1,04 = 91 936
Paso 3Año 3: 91 936 × 1,04 ≈ 95 613,44
Paso 4Redondeamos: **95 613 habitantes**
⚠️ Se aplica crecimiento compuesto: P = P₀ × (1 + r)ⁿ.
Tema 8 — Expresiones algebraicas
Las expresiones algebraicas utilizan letras (variables) para representar cantidades desconocidas o que pueden variar. Un monomio es un producto de un número por variables elevadas a exponentes naturales, y un polinomio es una suma de monomios. Saber evaluar y operar con estas expresiones es el primer paso hacia las ecuaciones.
Conceptos clave:
Monomio: expresión del tipo k·xⁿ (coeficiente × variable con exponente)
Polinomio: suma de monomios (ej. 3x² − 5x + 2)
Valor numérico: sustituir las variables por números y calcular
Producto de un monomio por un polinomio: propiedad distributiva
Producto de dos binomios: (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Escribe el polinomio 5a² − 3a + 2 e indica su grado, número de términos y coeficiente principal.
💡 Pista: El grado es el mayor exponente; el coeficiente principal acompaña al término de mayor grado.
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Paso 1Términos: 5a², −3a, 2 → es un **trinomio** (3 términos)
Paso 2Mayor exponente: 2 → **grado 2**
Paso 3Coeficiente del término de grado 2: **5** (coeficiente principal)
Ejercicio 2Básico
Calcula el valor numérico de 2x² − xy para x = 3, y = −2.
💡 Pista: Sustituye x por 3 e y por −2 en la expresión.
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Paso 12·(3)² − (3)·(−2)
Paso 22·9 − (−6)
Paso 318 + 6 = **24**
Ejercicio 3Intermedio
Desarrolla: (4x − 1)(2x + 3)
💡 Pista: Aplica la propiedad distributiva: cada término del primer paréntesis por cada término del segundo.
Desarrolla: (3x + 5)² usando la identidad notable.
💡 Pista: (a + b)² = a² + 2ab + b².
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Paso 1Identificamos: a = 3x, b = 5
Paso 2a² = (3x)² = 9x²
Paso 32ab = 2 · 3x · 5 = 30x
Paso 4b² = 5² = 25
Paso 5(3x + 5)² = **9x² + 30x + 25**
Tema 9 — Ecuaciones de primer grado
Una ecuación de primer grado es una igualdad con una incógnita elevada a exponente 1. Resolverla consiste en despejar la incógnita aplicando operaciones inversas a ambos miembros. Muchos problemas cotidianos se traducen en ecuaciones de primer grado que hay que plantear y resolver.
Conceptos clave:
Ecuación: igualdad que se cumple solo para ciertos valores de la incógnita
Transposición de términos: pasar un término al otro miembro cambiando su signo
Ecuaciones con paréntesis: primero eliminar paréntesis y luego agrupar
Ecuaciones con denominadores: multiplicar todo por el mcm de los denominadores
Problemas con ecuaciones: traducir el enunciado a lenguaje algebraico y resolver
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Resuelve: 11x − 4 = 5x + 20
💡 Pista: Pasa las x a un lado y los números al otro.
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Paso 111x − 5x = 20 + 4
Paso 26x = 24
Paso 3x = 24 / 6 = **4**
Ejercicio 2Básico
Resuelve: 3(2x − 5) = 9
💡 Pista: Primero elimina el paréntesis con la distributiva.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 16x − 15 = 9
Paso 26x = 9 + 15 = 24
Paso 3x = 24 / 6 = **4**
Ejercicio 3Intermedio
Resuelve: (x + 3)/4 − (2x − 1)/6 = 1
💡 Pista: Multiplica toda la ecuación por el mcm de 4 y 6, que es 12.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Multiplicamos todo por 12:
Paso 23(x + 3) − 2(2x − 1) = 12
Paso 33x + 9 − 4x + 2 = 12
Paso 4−x + 11 = 12
Paso 5−x = 1 → x = **−1**
Ejercicio 4Intermedio
Resuelve: 5(x − 2) − 3(x + 4) = 6
💡 Pista: Distribuye y agrupa términos semejantes.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 15x − 10 − 3x − 12 = 6
Paso 22x − 22 = 6
Paso 32x = 28
Paso 4x = 28 / 2 = **14**
Ejercicio 5Avanzado
En mi hucha tengo monedas de 50 céntimos y de 1 euro. En total tengo 23 monedas y 16,50 €. ¿Cuántas monedas de cada tipo tengo?
💡 Pista: Si x = monedas de 50 cént., entonces monedas de 1 € = 23 − x. Plantea la ecuación del valor total.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Sea x = monedas de 50 céntimos
Paso 2Monedas de 1 € = 23 − x
Paso 3Valor total: 0,50x + 1·(23 − x) = 16,50
Paso 40,50x + 23 − x = 16,50
Paso 5−0,50x = −6,50
Paso 6x = 13
Paso 7**13 monedas de 50 céntimos y 10 monedas de 1 €**
La edad de un padre es el triple que la de su hijo. Dentro de 14 años, la edad del padre será el doble que la del hijo. ¿Qué edad tiene cada uno ahora?
💡 Pista: Sea x la edad del hijo. La del padre es 3x. Dentro de 14 años: 3x + 14 = 2(x + 14).
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Sea x = edad del hijo; padre = 3x
Paso 2Dentro de 14 años: 3x + 14 = 2(x + 14)
Paso 33x + 14 = 2x + 28
Paso 4x = 14
Paso 5Padre: 3 × 14 = 42
Paso 6**Hijo: 14 años, Padre: 42 años**
⚠️ Comprobación dentro de 14 años: hijo 28, padre 56 → 56 = 2 × 28 ✓
Tema 10 — Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado tiene la forma ax² + bx + c = 0 (con a ≠ 0). Se resuelve mediante la fórmula general x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a. El discriminante (b²−4ac) indica cuántas soluciones reales tiene: dos, una o ninguna.
Conceptos clave:
Ecuación completa: ax² + bx + c = 0 (los tres coeficientes no nulos)
Ecuación incompleta: falta b (ax² + c = 0) o falta c (ax² + bx = 0)
Discriminante: Δ = b² − 4ac; si Δ > 0 → 2 soluciones, Δ = 0 → 1 solución, Δ < 0 → sin solución real
Fórmula general: x = (−b ± √Δ) / (2a)
Factorización: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Resuelve: x² − 64 = 0
💡 Pista: Es una ecuación incompleta (b = 0). Despeja x².
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1x² = 64
Paso 2x = ±√64
Paso 3**x = 8 o x = −8**
Ejercicio 2Básico
Resuelve: 5x² − 45 = 0
💡 Pista: Despeja x² dividiendo entre 5.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 15x² = 45
Paso 2x² = 9
Paso 3x = ±√9
Paso 4**x = 3 o x = −3**
Ejercicio 3Intermedio
Resuelve: x² + 8x + 15 = 0
💡 Pista: Aplica la fórmula general con a = 1, b = 8, c = 15.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1a = 1, b = 8, c = 15
Paso 2Δ = 8² − 4·1·15 = 64 − 60 = 4
Paso 3√Δ = 2
Paso 4x = (−8 ± 2) / 2
Paso 5x₁ = (−8 + 2) / 2 = −6/2 = −3
Paso 6x₂ = (−8 − 2) / 2 = −10/2 = −5
Paso 7**x = −3 o x = −5**
Ejercicio 4Intermedio
Resuelve: 3x² − 11x = 0
💡 Pista: Es una ecuación incompleta (c = 0). Saca factor común x.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Factor común: x(3x − 11) = 0
Paso 2x = 0 o 3x − 11 = 0
Paso 33x = 11 → x = 11/3
Paso 4**x = 0 o x = 11/3**
Ejercicio 5Avanzado
Resuelve: 2x² − 7x + 3 = 0
💡 Pista: Aplica la fórmula general con a = 2, b = −7, c = 3.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1a = 2, b = −7, c = 3
Paso 2Δ = (−7)² − 4·2·3 = 49 − 24 = 25
Paso 3√Δ = 5
Paso 4x = (7 ± 5) / 4
Paso 5x₁ = (7 + 5) / 4 = 12/4 = 3
Paso 6x₂ = (7 − 5) / 4 = 2/4 = 1/2
Paso 7**x = 3 o x = 1/2**
Ejercicio 6Avanzado
El producto de dos números consecutivos es 462. ¿Cuáles son esos números?
💡 Pista: Sea x el menor. Entonces x(x + 1) = 462.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Sea x el menor de los dos consecutivos
Paso 2x(x + 1) = 462
Paso 3x² + x − 462 = 0
Paso 4Δ = 1 + 4·462 = 1849; √1849 = 43
Paso 5x = (−1 + 43) / 2 = 21 o x = (−1 − 43) / 2 = −22
Paso 6Si x = 21: los números son **21 y 22**
Paso 7Si x = −22: los números son **−22 y −21**
⚠️ Si el enunciado pide números positivos, la solución es 21 y 22.
Tema 11 — Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: c² = a² + b². Permite calcular un lado desconocido y tiene múltiples aplicaciones en geometría plana, como hallar diagonales y alturas.
Conceptos clave:
Triángulo rectángulo: tiene un ángulo de 90°; los lados que lo forman son catetos y el opuesto es la hipotenusa
Teorema de Pitágoras: hipotenusa² = cateto₁² + cateto₂²
Terna pitagórica: tres enteros positivos que cumplen el teorema (ej. 3, 4, 5)
Diagonal de un rectángulo: d = √(a² + b²)
Altura de un triángulo equilátero: h = (lado × √3) / 2
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Comprueba que el triángulo de lados 20, 21 y 29 es rectángulo.
💡 Pista: Comprueba si el mayor al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos.
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Paso 1Hipotenusa (lado mayor): 29
Paso 229² = 841
Paso 320² + 21² = 400 + 441 = 841
Paso 4841 = 841 ✓
Paso 5**Sí, es un triángulo rectángulo**
⚠️ 20, 21, 29 es una terna pitagórica.
Ejercicio 2Básico
Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos 9 y 40.
💡 Pista: c = √(9² + 40²).
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Paso 1c² = 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681
Paso 2c = √1681 = **41**
Ejercicio 3Intermedio
Calcula la diagonal de un cuadrado de lado 14 cm.
💡 Pista: La diagonal de un cuadrado es lado × √2.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1d² = 14² + 14² = 196 + 196 = 392
Paso 2d = √392 = √(196 × 2) = 14√2
Paso 3d ≈ 14 × 1,414 = **19,80 cm**
Ejercicio 4Intermedio
Calcula la altura de un triángulo equilátero de lado 18 cm.
💡 Pista: La altura divide la base en dos mitades. Aplica Pitágoras con cateto = 9 e hipotenusa = 18.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1La altura divide la base: mitad = 9 cm
Paso 2h² = 18² − 9² = 324 − 81 = 243
Paso 3h = √243 = √(81 × 3) = 9√3
Paso 4h ≈ 9 × 1,732 = **15,59 cm**
Ejercicio 5Avanzado
Una escalera de 13 m está apoyada en una pared. El pie de la escalera dista 5 m de la pared. ¿A qué altura de la pared llega la escalera?
💡 Pista: La escalera es la hipotenusa, la distancia al suelo es un cateto. Calcula el otro cateto.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Hipotenusa = 13 m, cateto horizontal = 5 m
Paso 2h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
Paso 3h = √144 = **12 m**
Ejercicio 6Avanzado
Calcula el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 30 cm y 16 cm.
💡 Pista: Las diagonales del rombo se cortan perpendicularmente en su punto medio. Cada lado es la hipotenusa de un triángulo con catetos mitad de cada diagonal.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Semidiagonales: 30/2 = 15 cm y 16/2 = 8 cm
Paso 2Lado del rombo: l = √(15² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17 cm
Paso 3Perímetro = 4 × 17 = **68 cm**
Tema 12 — Áreas y volúmenes
Los cuerpos geométricos (prismas, cilindros, conos, esferas) tienen fórmulas específicas para calcular su área (superficie exterior) y su volumen (espacio que ocupan). Es fundamental manejar estas fórmulas y operar correctamente con las unidades.
Conceptos clave:
Prisma: V = Área de la base × altura; A_lateral = perímetro base × altura
Cilindro: V = π·r²·h; A_total = 2πr² + 2πrh
Cono: V = (1/3)·π·r²·h; A_lateral = π·r·g (g = generatriz)
Esfera: V = (4/3)·π·r³; A = 4·π·r²
Pirámide: V = (1/3)·Área base × altura
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Calcula el volumen de un prisma cuya base es un triángulo rectángulo de catetos 6 y 8 cm y altura del prisma 15 cm.
💡 Pista: Área del triángulo = (cateto₁ × cateto₂) / 2. Volumen = área base × altura.
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Paso 1Área de la base triangular: (6 × 8) / 2 = 24 cm²
Paso 2Volumen = 24 × 15 = **360 cm³**
⚠️ La hipotenusa (10 cm) no se necesita para el volumen.
Ejercicio 2Básico
Calcula el volumen de un cilindro de radio 7 cm y altura 10 cm.
💡 Pista: V = π·r²·h.
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Paso 1V = π × 7² × 10
Paso 2V = π × 49 × 10 = 490π
Paso 3V ≈ 490 × 3,1416 = **1539,38 cm³**
Ejercicio 3Intermedio
Calcula el área total del cilindro del ejercicio anterior (r = 7 cm, h = 10 cm).
💡 Pista: A_total = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h).
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Paso 1A_total = 2π × 7 × (7 + 10)
Paso 2A_total = 2π × 7 × 17 = 238π
Paso 3A_total ≈ 238 × 3,1416 = **747,70 cm²**
Ejercicio 4Intermedio
Calcula el volumen de una esfera de radio 9 cm.
💡 Pista: V = (4/3)·π·r³.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1V = (4/3) × π × 9³
Paso 29³ = 729
Paso 3V = (4/3) × 729 × π = 972π
Paso 4V ≈ 972 × 3,1416 = **3053,63 cm³**
Ejercicio 5Avanzado
Un depósito cilíndrico tiene un diámetro de 1,4 m y una altura de 2 m. ¿Cuántos litros de agua cabe?
💡 Pista: Radio = diámetro/2 = 0,7 m. Calcula el volumen en m³ y convierte: 1 m³ = 1000 litros.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Radio = 1,4 / 2 = 0,7 m
Paso 2V = π × 0,7² × 2 = π × 0,49 × 2 = 0,98π m³
Paso 3V ≈ 0,98 × 3,1416 = 3,0788 m³
Paso 41 m³ = 1000 litros
Paso 5V ≈ **3078,76 litros**
Ejercicio 6Avanzado
Calcula el volumen total de un cono de radio 5 cm y altura 12 cm más una semiesfera del mismo radio en la base.
La estadística recoge, organiza y analiza datos. Las medidas de centralización (media, mediana, moda) resumen un conjunto de datos en un solo valor representativo. La probabilidad mide la posibilidad de que ocurra un suceso, con valores entre 0 (imposible) y 1 (seguro).
Conceptos clave:
Media aritmética: suma de todos los datos dividida entre el número de datos
Mediana: valor central de los datos ordenados
Moda: dato que más se repite
Frecuencia absoluta: número de veces que aparece un dato
Las notas de 30 alumnos en un examen son: 3 (×2), 4 (×5), 5 (×8), 6 (×7), 7 (×4), 8 (×3), 9 (×1). Calcula la media y determina si más de la mitad aprobó (≥ 5).
💡 Pista: Media = Σ(valor × frecuencia) / total. Cuenta los alumnos con nota ≥ 5.
Paso 4Alumnos con nota ≥ 5: 8 + 7 + 4 + 3 + 1 = 23
Paso 523/30 > 1/2 → **Sí, más de la mitad aprobó**
Cómo usar este solucionario para aprobar
La técnica del bolígrafo rojo es la más efectiva: haz tus ejercicios en azul, intenta resolver cada problema del módulo interactivo, y cuando veas la solución, anota en rojo dónde fallaste. Ese proceso de identificar exactamente tu error es lo que evita que lo repitas en el examen real.
Los ejercicios resueltos están ordenados de menor a mayor dificultad dentro de cada tema. Si un tema se te resiste, empieza por los básicos (verdes) y avanza hacia los avanzados (rojos) cuando domines los primeros.
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