Solucionario del libro de Matemáticas 2 ESO Edelvives (La Leyenda del Legado) con todos los ejercicios resueltos paso a paso. Repasarás números enteros, fracciones, álgebra, geometría y estadística con explicaciones claras y detalladas. Ideal para preparar exámenes y reforzar cada tema del curso.
En este solucionario de Matemáticas 2 ESO Edelvives encontrarás ejercicios interactivos con autocorrección instantánea, resúmenes de teoría por tema y soluciones paso a paso con explicación detallada. Cada ejercicio incluye autoevaluación con pistas progresivas y una barra de progreso para que controles cuánto llevas de cada tema. Todo el contenido está adaptado al currículo oficial de 2º ESO.
👆 Haz click en un tema del índice de arriba para ver los ejercicios resueltos, la teoría resumida y la autoevaluación interactiva.
Tema 1 — Números enteros
Los números enteros (ℤ) amplían los naturales incluyendo los negativos y el cero. En este tema se trabajan las operaciones combinadas respetando la jerarquía: paréntesis, potencias, multiplicaciones/divisiones y por último sumas/restas. Las potencias de base entera siguen la regla de signos según el exponente sea par o impar.
Conceptos clave:
Suma de enteros: si tienen el mismo signo se suman valores absolutos y se conserva el signo; si son distintos, se restan y se toma el signo del mayor
Regla de signos en multiplicación: (+)(+)=+, (−)(−)=+, (+)(−)=−, (−)(+)=−
Potencias de base negativa: exponente par → resultado positivo; exponente impar → resultado negativo
Jerarquía de operaciones: paréntesis → potencias/raíces → multiplicación/división → suma/resta
Propiedad distributiva: a × (b + c) = a×b + a×c, útil para simplificar expresiones
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Ejercicio 1Básico
Calcula: (+11) + (−4) − (+7)
💡 Pista: Elimina los paréntesis aplicando los signos: +11 − 4 − 7.
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Paso 1Quitamos paréntesis: +11 − 4 − 7
Paso 2Sumamos positivos: 11
Paso 3Sumamos negativos: −4 − 7 = −11
Paso 4Resultado: 11 − 11 = **0**
Ejercicio 2Básico
Calcula: (−6) × (−3) × (+2)
💡 Pista: Cuenta los signos negativos: si hay un número par, el resultado es positivo.
⚠️ Recuerda: (−2)³ = −8. El exponente impar conserva el signo negativo.
Tema 2 — Divisibilidad y fracciones
La divisibilidad estudia la relación entre múltiplos y divisores. El MCD (máximo común divisor) se obtiene descomponiendo en factores primos y tomando los comunes con menor exponente. El mcm (mínimo común múltiplo) toma todos los factores con mayor exponente. Las fracciones representan partes de un todo y se simplifican dividiendo numerador y denominador por su MCD.
Conceptos clave:
Descomposición en factores primos: expresar un número como producto de primos (ej. 48 = 2⁴ × 3)
MCD: factores primos comunes con menor exponente; sirve para simplificar fracciones
mcm: todos los factores primos con mayor exponente; sirve para hallar denominador común
Fracción equivalente: dos fracciones son equivalentes si a/b = c/d ↔ a×d = b×c
Suma de fracciones: para sumar fracciones con distinto denominador, se busca el mcm de los denominadores
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Ejercicio 1Básico
Calcula el MCD de 32 y 48.
💡 Pista: Descompón: 32 = 2⁵ y 48 = 2⁴ × 3. Toma los comunes con menor exponente.
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Paso 132 = 2⁵
Paso 248 = 2⁴ × 3
Paso 3Factor común: 2 con menor exponente → 2⁴ = **16**
Ejercicio 2Básico
Calcula el mcm de 22 y 33.
💡 Pista: Descompón en primos: 22 = 2 × 11, 33 = 3 × 11. Toma todos los factores con mayor exponente.
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Paso 122 = 2 × 11
Paso 233 = 3 × 11
Paso 3Todos los factores con mayor exponente: 2 × 3 × 11 = **66**
Ejercicio 3Intermedio
Calcula: 7/10 + 3/5
💡 Pista: El mcm de 10 y 5 es 10. Convierte 3/5 a décimos.
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Paso 1mcm(10, 5) = 10
Paso 27/10 ya tiene denominador 10
Paso 33/5 = 6/10
Paso 47/10 + 6/10 = **13/10**
⚠️ 13/10 también puede escribirse como 1 + 3/10 (número mixto).
Ejercicio 4Intermedio
Simplifica la fracción 54/90.
💡 Pista: Halla el MCD de 54 y 90 para dividir numerador y denominador.
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Paso 154 = 2 × 3³
Paso 290 = 2 × 3² × 5
Paso 3MCD(54, 90) = 2 × 3² = 18
Paso 454 ÷ 18 = 3; 90 ÷ 18 = 5
Paso 5Fracción simplificada: **3/5**
Ejercicio 5Avanzado
Calcula el MCD y el mcm de 60 y 84.
💡 Pista: 60 = 2² × 3 × 5 y 84 = 2² × 3 × 7.
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Paso 160 = 2² × 3 × 5
Paso 284 = 2² × 3 × 7
Paso 3MCD: factores comunes con menor exponente → 2² × 3 = **12**
Paso 4mcm: todos los factores con mayor exponente → 2² × 3 × 5 × 7 = **420**
Un granjero tiene 84 manzanas y 60 naranjas. Quiere hacer lotes iguales con la mayor cantidad posible de fruta en cada lote, sin mezclar frutas. ¿Cuántos lotes puede hacer de cada fruta?
💡 Pista: El número de frutas por lote es el MCD de 84 y 60.
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Paso 1Buscamos el MCD(84, 60) = 12 (calculado en el ejercicio anterior)
Paso 2Cada lote tiene 12 piezas de fruta
Paso 3Lotes de manzanas: 84 ÷ 12 = **7 lotes**
Paso 4Lotes de naranjas: 60 ÷ 12 = **5 lotes**
⚠️ En total son 12 lotes: 7 de manzanas + 5 de naranjas.
Tema 3 — Operaciones con fracciones
Las operaciones con fracciones requieren dominar la suma con denominador común, la multiplicación (numerador por numerador, denominador por denominador) y la división (multiplicar por la inversa). En problemas contextualizados es fundamental identificar qué operación corresponde y simplificar el resultado.
Conceptos clave:
Resta de fracciones: mismo procedimiento que la suma pero restando numeradores tras igualar denominadores
Multiplicación: (a/b) × (c/d) = (a×c)/(b×d); simplificar cruzado antes si es posible
División: (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c); se multiplica por la fracción inversa
Fracción de una cantidad: (a/b) de C = (a × C)/b
Operaciones combinadas: respetar la jerarquía igual que con enteros
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Ejercicio 1Básico
Calcula: 9/4 − 5/6
💡 Pista: El mcm de 4 y 6 es 12. Convierte ambas fracciones a doceavos.
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Paso 1mcm(4, 6) = 12
Paso 29/4 = 27/12
Paso 35/6 = 10/12
Paso 427/12 − 10/12 = **17/12**
⚠️ 17/12 = 1 + 5/12 como número mixto.
Ejercicio 2Básico
Calcula: 7/8 × 4/3
💡 Pista: Multiplica numeradores entre sí y denominadores entre sí. Simplifica si es posible.
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Paso 1Numeradores: 7 × 4 = 28
Paso 2Denominadores: 8 × 3 = 24
Paso 328/24 → simplificamos entre 4: **7/6**
⚠️ Truco: antes de multiplicar, simplifica cruzado: 4 y 8 comparten factor 4.
Ejercicio 3Intermedio
Calcula: (5/3) ÷ (10/9)
💡 Pista: Dividir fracciones = multiplicar por la inversa: (5/3) × (9/10).
Los números decimales son otra forma de representar fracciones. Se clasifican en exactos (tienen un número finito de cifras decimales), periódicos puros (el periodo empieza justo tras la coma) y periódicos mixtos (hay cifras no periódicas antes del periodo). Convertir decimales a fracción y viceversa es esencial para operar con precisión.
Conceptos clave:
Decimal exacto: termina tras un número finito de cifras (ej. 3,125 = 3125/1000)
Decimal periódico puro: las cifras se repiten desde el principio (ej. 0,454545… = 45/99)
Decimal periódico mixto: hay cifras no periódicas antes del periodo (ej. 0,1666… = 15/90 = 1/6)
Fracción generatriz: fracción irreducible equivalente a un decimal
Ordenar decimales: comparar cifra a cifra de izquierda a derecha
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Ejercicio 1Básico
Expresa 3,125 como fracción irreducible.
💡 Pista: 3,125 = 3125/1000. Simplifica dividiendo entre 125.
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Paso 13,125 = 3125/1000
Paso 2MCD(3125, 1000) = 125
Paso 33125 ÷ 125 = 25; 1000 ÷ 125 = 8
Paso 4Fracción irreducible: **25/8**
Ejercicio 2Básico
Ordena de menor a mayor: 2,307 ; 2,37 ; 2,073 ; 2,3
💡 Pista: Iguala el número de decimales añadiendo ceros: 2,307 ; 2,370 ; 2,073 ; 2,300.
Las potencias permiten expresar multiplicaciones repetidas y la notación científica facilita escribir números muy grandes o muy pequeños. Las raíces cuadradas son la operación inversa de elevar al cuadrado. Es fundamental dominar las propiedades de las potencias (producto, cociente, potencia de potencia) para simplificar expresiones.
Conceptos clave:
Potencia: aⁿ = a × a × … × a (n veces). a es la base, n el exponente
Producto de potencias misma base: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Cociente de potencias misma base: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Potencia de potencia: (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ
Notación científica: a × 10ⁿ donde 1 ≤ a < 10
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Ejercicio 1Básico
Calcula: (−3)⁵
💡 Pista: El exponente es 5 (impar), así que el resultado será negativo.
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Paso 1(−3)⁵ = (−3)×(−3)×(−3)×(−3)×(−3)
Paso 2(−3)×(−3) = 9
Paso 39×(−3) = −27
Paso 4(−27)×(−3) = 81
Paso 581×(−3) = **−243**
⚠️ Exponente impar → el resultado conserva el signo negativo de la base.
Ejercicio 2Básico
Calcula: √225
💡 Pista: Busca un número que multiplicado por sí mismo dé 225. Prueba con 15.
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Paso 1Buscamos x tal que x² = 225
Paso 215 × 15 = 225 ✓
Paso 3√225 = **15**
⚠️ 225 = 9 × 25 = 3² × 5², por lo que √225 = 3 × 5 = 15.
Ejercicio 3Intermedio
Expresa en notación científica: 8,3 × 10⁻³. ¿A cuánto equivale en notación decimal?
💡 Pista: 10⁻³ significa dividir entre 1000, o sea mover la coma 3 posiciones a la izquierda.
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Paso 18,3 × 10⁻³ = 8,3 ÷ 1000
Paso 2Movemos la coma 3 posiciones a la izquierda:
Paso 38,3 → 0,83 → 0,083 → 0,0083
Paso 4Resultado: **0,0083**
Ejercicio 4Intermedio
Simplifica usando propiedades de potencias: 5⁴ × 5³ ÷ 5⁵
💡 Pista: Producto de potencias: suma exponentes. Cociente: resta exponentes.
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Paso 1Producto: 5⁴ × 5³ = 5⁴⁺³ = 5⁷
Paso 2Cociente: 5⁷ ÷ 5⁵ = 5⁷⁻⁵ = 5²
Paso 35² = **25**
Ejercicio 5Avanzado
Simplifica: (2³)² × 2⁴ ÷ 2⁷
💡 Pista: Potencia de potencia: (2³)² = 2⁶. Luego aplica producto y cociente.
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Paso 1Potencia de potencia: (2³)² = 2³ˣ² = 2⁶
Paso 2Producto: 2⁶ × 2⁴ = 2¹⁰
Paso 3Cociente: 2¹⁰ ÷ 2⁷ = 2³
Paso 42³ = **8**
Ejercicio 6Avanzado
La distancia de la Tierra al Sol es 1,496 × 10⁸ km. La velocidad de la luz es 3 × 10⁵ km/s. ¿Cuántos segundos tarda la luz en llegar del Sol a la Tierra?
💡 Pista: Tiempo = distancia ÷ velocidad. Divide las potencias de 10.
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Paso 1Tiempo = distancia ÷ velocidad
Paso 2t = (1,496 × 10⁸) ÷ (3 × 10⁵)
Paso 3Dividimos coeficientes: 1,496 ÷ 3 = 0,4987
Paso 4Dividimos potencias: 10⁸ ÷ 10⁵ = 10³
Paso 5t = 0,4987 × 10³ = 498,7 s
Paso 6En minutos: 498,7 ÷ 60 ≈ **498,7 s (≈ 8 min 19 s)**
⚠️ La luz del Sol tarda algo más de 8 minutos en llegar a la Tierra.
Tema 6 — Proporcionalidad directa e inversa
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra se multiplica por el mismo. Son inversamente proporcionales si al multiplicar una, la otra se divide por el mismo factor. La razón y la constante de proporcionalidad son claves para resolver problemas mediante regla de tres.
Conceptos clave:
Razón: cociente entre dos cantidades (ej. 7:3 significa que por cada 7 unidades de A hay 3 de B)
Proporcionalidad directa: a/b = c/d → se cumple regla de tres directa
Proporcionalidad inversa: a × b = c × d (el producto es constante)
Regla de tres simple directa: si más de A → más de B
Regla de tres simple inversa: si más de A → menos de B
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Ejercicio 1Básico
En una mezcla de pintura, la razón azul a blanco es 7:3. Si se usan 21 litros de azul, ¿cuántos litros de blanco se necesitan?
💡 Pista: 7 partes de azul = 21 litros → 1 parte = 3 litros → 3 partes de blanco = ?
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Paso 1Razón azul:blanco = 7:3
Paso 21 parte = 21 ÷ 7 = 3 litros
Paso 3Blanco: 3 × 3 = **9 litros**
Ejercicio 2Básico
Si 5 camisetas cuestan 85 €, ¿cuánto cuestan 8 camisetas?
💡 Pista: Es proporcionalidad directa: más camisetas → más dinero. Haz regla de tres.
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Paso 15 camisetas → 85 €
Paso 28 camisetas → x €
Paso 3x = (85 × 8) ÷ 5 = 680 ÷ 5 = **136 €**
Ejercicio 3Intermedio
4 grifos llenan una piscina en 6 horas. ¿Cuánto tardan 8 grifos en llenar la misma piscina?
💡 Pista: Más grifos → menos tiempo. Es proporcionalidad inversa.
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Paso 14 grifos → 6 horas
Paso 28 grifos → x horas
Paso 3Proporcionalidad inversa: 4 × 6 = 8 × x
Paso 424 = 8x → x = 24 ÷ 8 = **3 horas**
Ejercicio 4Intermedio
Un coche recorre 270 km en 3 horas. A esa misma velocidad, ¿cuántos km recorre en 7 horas?
💡 Pista: Más tiempo → más km. Es directa. Primero halla la velocidad.
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Paso 1Velocidad: 270 ÷ 3 = 90 km/h
Paso 2En 7 horas: 90 × 7 = **630 km**
⚠️ Alternativa por regla de tres: x = (270 × 7) ÷ 3 = 630.
Ejercicio 5Avanzado
Para pintar una valla, 6 pintores tardan 10 días trabajando 5 horas diarias. ¿Cuántos días tardarán 4 pintores trabajando 6 horas al día?
💡 Pista: Regla de tres compuesta inversa en ambas magnitudes. El trabajo total es constante.
Paso 2Nuevo escenario: 4 pintores × d días × 6 h/día = 300
Paso 324d = 300
Paso 4d = 300 ÷ 24 = **12,5 días**
Ejercicio 6Avanzado
Tres amigos se reparten 540 € en proporción 2:3:4. ¿Cuánto recibe cada uno?
💡 Pista: Suma de partes: 2+3+4=9. Calcula el valor de cada parte.
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Paso 1Total de partes: 2 + 3 + 4 = 9
Paso 2Valor de 1 parte: 540 ÷ 9 = 60 €
Paso 3Primer amigo: 2 × 60 = **120 €**
Paso 4Segundo amigo: 3 × 60 = **180 €**
Paso 5Tercer amigo: 4 × 60 = **240 €**
⚠️ Comprobación: 120 + 180 + 240 = 540 ✓
Tema 7 — Porcentajes
Un porcentaje expresa una cantidad como una fracción de 100. Calcular el x% de una cantidad se reduce a multiplicar por x/100. Los descuentos sucesivos no se suman directamente: se aplican uno tras otro sobre el resultado anterior. El IVA se calcula de forma análoga al incremento porcentual.
Conceptos clave:
x% de C: (x/100) × C
Incremento porcentual: cantidad final = C × (1 + x/100)
Descuento porcentual: cantidad final = C × (1 − x/100)
Descuentos sucesivos: se aplican en cadena, NO se suman
El álgebra usa letras para representar cantidades desconocidas. Un monomio es un producto de un número (coeficiente) por variables con exponentes enteros. Las ecuaciones de primer grado (ax + b = 0) se resuelven aislando la incógnita con operaciones inversas. Las ecuaciones con denominadores requieren multiplicar por el mcm de todos los denominadores.
Conceptos clave:
Monomio: expresión del tipo 3x², donde 3 es el coeficiente y 2 el grado
Monomios semejantes: misma parte literal → se pueden sumar/restar coeficientes
Ecuación de primer grado: la incógnita aparece con exponente 1
Transposición de términos: pasar un término al otro lado cambia su signo
Ecuaciones con denominadores: multiplicar toda la ecuación por el mcm de los denominadores
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Resuelve: 9x − 7 = 4x + 13
💡 Pista: Pasa los términos con x a un lado y los números al otro.
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Paso 1Pasamos 4x a la izquierda: 9x − 4x − 7 = 13
Paso 2Simplificamos: 5x − 7 = 13
Paso 3Pasamos −7 a la derecha: 5x = 13 + 7 = 20
Paso 4Dividimos: x = 20 ÷ 5 = **x = 4**
Ejercicio 2Básico
Resuelve: 3(x + 4) = 2(x − 1) + 19
💡 Pista: Desarrolla los paréntesis primero.
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Paso 1Desarrollamos: 3x + 12 = 2x − 2 + 19
Paso 2Simplificamos derecha: 3x + 12 = 2x + 17
Paso 3Restamos 2x: x + 12 = 17
Paso 4Restamos 12: **x = 5**
Ejercicio 3Intermedio
Resuelve: (x + 3)/2 − (x − 1)/3 = 2
💡 Pista: Multiplica toda la ecuación por el mcm de 2 y 3, que es 6.
Una ecuación de segundo grado tiene la forma ax² + bx + c = 0. Se resuelve con la fórmula general: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a. El discriminante Δ = b²−4ac determina el número de soluciones: si Δ > 0 → dos soluciones, Δ = 0 → una solución doble, Δ < 0 → sin solución real. Las ecuaciones incompletas (falta b o c) se resuelven de forma más directa.
Conceptos clave:
Ecuación incompleta (c=0): ax² + bx = 0 → x(ax + b) = 0 → x=0 o x=−b/a
Ecuación incompleta (b=0): ax² + c = 0 → x² = −c/a → x = ±√(−c/a)
El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: c² = a² + b². Sirve para calcular lados desconocidos, verificar si un triángulo es rectángulo y hallar diagonales en figuras planas y cuerpos 3D.
Conceptos clave:
Hipotenusa: el lado mayor, opuesto al ángulo recto. c² = a² + b²
Cateto: a = √(c² − b²) si se conoce la hipotenusa y el otro cateto
Terna pitagórica: tres enteros que cumplen a² + b² = c² (ej. 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17)
Diagonal de un rectángulo: d = √(a² + b²)
Diagonal de un ortoedro: d = √(a² + b² + c²)
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Comprueba que el triángulo de lados 11, 60 y 61 es rectángulo.
💡 Pista: Comprueba si 11² + 60² = 61².
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Paso 1Hipotenusa (lado mayor): 61
Paso 211² = 121
Paso 360² = 3600
Paso 4Suma de catetos²: 121 + 3600 = 3721
Paso 561² = 3721
Paso 63721 = 3721 ✓ → **Sí, es rectángulo**
⚠️ 11-60-61 es una terna pitagórica.
Ejercicio 2Básico
Un triángulo rectángulo tiene catetos de 9 cm y 40 cm. Calcula la hipotenusa.
💡 Pista: Aplica c² = a² + b² = 9² + 40².
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Paso 1c² = 9² + 40²
Paso 2c² = 81 + 1600 = 1681
Paso 3c = √1681 = **41 cm**
⚠️ 9-40-41 es otra terna pitagórica.
Ejercicio 3Intermedio
Calcula la diagonal de un ortoedro (cuboid) de dimensiones 3 cm × 4 cm × 5 cm.
💡 Pista: Diagonal del ortoedro: d = √(a² + b² + c²).
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Paso 1d = √(3² + 4² + 5²)
Paso 2d = √(9 + 16 + 25)
Paso 3d = √50
Paso 4d = √(25 × 2) = 5√2 ≈ **7,07 cm**
Ejercicio 4Intermedio
Una escalera de 10 m de longitud se apoya en una pared. El pie de la escalera está a 6 m de la pared. ¿A qué altura llega la escalera?
💡 Pista: La escalera es la hipotenusa, la distancia al muro un cateto. Busca el otro cateto.
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Paso 1Hipotenusa: 10 m, cateto conocido: 6 m
Paso 2h² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64
Paso 3h = √64 = **8 m**
⚠️ Terna 6-8-10 (es 3-4-5 multiplicada por 2).
Ejercicio 5Avanzado
Calcula la altura de un triángulo equilátero de lado 14 cm.
💡 Pista: La altura divide la base por la mitad. Aplica Pitágoras: h² = 14² − 7².
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Paso 1La altura divide el lado de la base en dos mitades de 7 cm
Un rombo tiene diagonales de 16 cm y 30 cm. Calcula el perímetro del rombo.
💡 Pista: Las diagonales se cortan en ángulo recto por la mitad: medias diagonales 8 y 15. Halla el lado con Pitágoras.
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Paso 1Las diagonales se bisecan perpendicularmente: mitades = 8 cm y 15 cm
Paso 2Cada lado del rombo es la hipotenusa: l² = 8² + 15²
Paso 3l² = 64 + 225 = 289
Paso 4l = √289 = 17 cm
Paso 5Perímetro = 4 × 17 = **68 cm**
⚠️ 8-15-17 es una terna pitagórica.
Tema 11 — Figuras semejantes y escalas
Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma aunque distinto tamaño: sus ángulos son iguales y sus lados proporcionales. La razón de semejanza (k) es el cociente entre lados homólogos. Las escalas son un caso particular de semejanza. El Teorema de Thales permite calcular longitudes desconocidas en triángulos cortados por rectas paralelas.
Conceptos clave:
Razón de semejanza: k = lado figura mayor / lado figura menor
Relación de áreas: si la razón de lados es k, la razón de áreas es k²
Relación de volúmenes: la razón de volúmenes es k³
Escala: E = medida en el plano / medida real. Ej: 1:75000 → 1 cm en el mapa = 75000 cm reales
Teorema de Thales: si varias rectas paralelas cortan a dos secantes, los segmentos son proporcionales
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
En un mapa a escala 1:75 000, la distancia entre dos pueblos es 8,4 cm. ¿Cuál es la distancia real?
💡 Pista: Distancia real = 8,4 × 75 000 cm. Convierte a km dividiendo entre 100 000.
Dos triángulos semejantes tienen razón de semejanza 4:7. Si el lado menor del triángulo pequeño mide 12 cm, ¿cuánto mide el lado homólogo del grande?
💡 Pista: k = 4/7. Lado grande = 12 × (7/4).
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Paso 1Razón: pequeño/grande = 4/7
Paso 2Lado grande = 12 × (7/4) = 84/4 = **21 cm**
Ejercicio 3Intermedio
Dos figuras semejantes tienen razón de semejanza 3:5. Si el área de la figura pequeña es 27 cm², ¿cuál es el área de la grande?
💡 Pista: La razón de áreas es k² = (3/5)² = 9/25.
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Paso 1Razón de áreas: (3/5)² = 9/25
Paso 227/A = 9/25
Paso 3A = 27 × 25/9 = 675/9 = **75 cm²**
Ejercicio 4Intermedio
Aplica el Teorema de Thales: en un triángulo ABC, una recta paralela a BC corta a AB en D y a AC en E. Si AD = 6, DB = 9 y AE = 8, calcula EC.
💡 Pista: Por Thales: AD/DB = AE/EC → 6/9 = 8/EC.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Teorema de Thales: AD/DB = AE/EC
Paso 26/9 = 8/EC
Paso 3EC = (8 × 9)/6 = 72/6 = **12**
Ejercicio 5Avanzado
Un poste de 2,5 m proyecta una sombra de 3 m a la misma hora que un edificio proyecta una sombra de 18 m. ¿Cuánto mide el edificio?
💡 Pista: Los triángulos formados por el objeto y su sombra son semejantes (mismos ángulos solares).
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Paso 1Triángulos semejantes: altura/sombra es constante
Paso 22,5 / 3 = x / 18
Paso 3x = (2,5 × 18) / 3 = 45 / 3 = **15 m**
Ejercicio 6Avanzado
Dos recipientes semejantes tienen razón de semejanza 2:3. Si el volumen del pequeño es 120 cm³, ¿cuál es el volumen del grande?
💡 Pista: La razón de volúmenes es k³ = (2/3)³ = 8/27.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Razón de volúmenes: (2/3)³ = 8/27
Paso 2120/V = 8/27
Paso 3V = 120 × 27/8 = 3240/8 = **405 cm³**
Tema 12 — Cuerpos geométricos: áreas y volúmenes
Los cuerpos geométricos son figuras tridimensionales. En 2º ESO se estudian principalmente el cilindro, el cono y la esfera. El área total es la suma de todas las superficies y el volumen mide el espacio que ocupan. Todas las fórmulas involucran π.
Conceptos clave:
Cilindro: A_lateral = 2πrh, A_total = 2πr(r+h), V = πr²h
⚠️ Aproximadamente 198 m³ de agua, equivalente a casi 200 000 litros.
Tema 13 — Estadística y probabilidad
La estadística estudia cómo recoger, organizar y analizar datos. Las medidas de centralización (media, mediana, moda) resumen un conjunto de datos con un valor representativo. La probabilidad mide la posibilidad de que ocurra un suceso, usando la regla de Laplace: P = casos favorables / casos posibles.
Conceptos clave:
Media aritmética: suma de todos los datos dividida entre el número de datos
Mediana: valor central al ordenar los datos; si hay número par de datos, media de los dos centrales
Moda: dato que más se repite
Tabla de frecuencias: frecuencia absoluta (fᵢ), relativa (fᵢ/N) y acumulada
Las notas de 10 alumnos son: 4, 6, 5, 8, 7, 3, 9, 6, 5, 7. Calcula la media y la desviación media.
💡 Pista: Desviación media = media de los valores absolutos de las diferencias entre cada dato y la media.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Media: (4+6+5+8+7+3+9+6+5+7)/10 = 60/10 = 6
Paso 2Diferencias con la media: |4−6|=2, |6−6|=0, |5−6|=1, |8−6|=2, |7−6|=1, |3−6|=3, |9−6|=3, |6−6|=0, |5−6|=1, |7−6|=1
Paso 3Suma de diferencias: 2+0+1+2+1+3+3+0+1+1 = 14
Paso 4Desviación media: 14/10 = **1,4**
⚠️ La desviación media indica que, de media, cada nota se aleja 1,4 puntos de la media (6).
Ejercicio 6Avanzado
En una bolsa hay 5 bolas rojas, 3 azules y 2 verdes. Se saca una bola sin mirar. ¿Cuál es la probabilidad de que NO sea roja? Si se saca una bola roja y no se devuelve, ¿cuál es ahora la probabilidad de sacar una bola azul?
💡 Pista: Total de bolas: 10. P(no roja) = (bolas no rojas)/10. Para la segunda parte, quedan 9 bolas.
⚠️ Es un ejemplo de probabilidad condicionada (sin reposición).
Cómo usar este solucionario para aprobar
La técnica del bolígrafo rojo es la más efectiva: haz tus ejercicios en azul, intenta resolver cada problema del módulo interactivo, y cuando veas la solución, anota en rojo dónde fallaste. Ese proceso de identificar exactamente tu error es lo que evita que lo repitas en el examen real.
Los ejercicios resueltos están ordenados de menor a mayor dificultad dentro de cada tema. Si un tema se te resiste, empieza por los básicos (verdes) y avanza hacia los avanzados (rojos) cuando domines los primeros.
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