Solucionario del libro de Matemáticas 2 ESO McGraw Hill con todos los ejercicios resueltos paso a paso. McGraw Hill ofrece un tratamiento aplicado y competencial de las matemáticas, conectando cada tema con situaciones reales y fomentando el razonamiento lógico.
En este solucionario de Matemáticas 2 ESO McGraw Hill encontrarás ejercicios interactivos con autocorrección instantánea, resúmenes de teoría por tema y soluciones paso a paso con explicación detallada. Cada ejercicio incluye autoevaluación con pistas progresivas y una barra de progreso para que controles cuánto llevas de cada tema. Todo el contenido está adaptado al currículo oficial de 2º ESO.
👆 Haz click en un tema del índice de arriba para ver los ejercicios resueltos, la teoría resumida y la autoevaluación interactiva.
Tema 1 — Números enteros y racionales
Los números enteros (ℤ) amplían los naturales con los negativos, imprescindibles para representar deudas, temperaturas bajo cero o altitudes negativas. Los números racionales (ℚ) son aquellos que pueden escribirse como fracción de dos enteros. Dominar las operaciones combinadas con enteros y el cálculo del MCD y mcm resulta esencial para todo el curso.
Conceptos clave:
Número entero: cualquier número positivo, negativo o cero (…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …)
Regla de signos en suma: mismo signo → se suman y se mantiene el signo; distinto signo → se restan y se pone el del mayor valor absoluto
Regla de signos en producto/cociente: signos iguales → positivo; signos distintos → negativo
MCD: mayor divisor común de dos o más números; se obtiene con factores primos comunes al menor exponente
mcm: menor múltiplo común; se obtiene con todos los factores primos al mayor exponente
0/7 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Calcula: (+13) + (−18) − (+4)
💡 Pista: Elimina los paréntesis aplicando la regla de signos y luego opera de izquierda a derecha.
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Paso 1Eliminamos paréntesis: +13 − 18 − 4
Paso 2Sumamos los positivos: 13
Paso 3Sumamos los negativos: −18 − 4 = −22
Paso 4Resultado: 13 − 22 = **−9**
Ejercicio 2Básico
Calcula: (−9) × (−2) ÷ (+3)
💡 Pista: Cuenta los signos negativos: si hay un número par, el resultado es positivo. Luego divide.
💡 Pista: Resuelve primero el corchete, luego las potencias y multiplicaciones, y por último la suma.
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Paso 1Corchete: 6 − (−11) = 6 + 11 = 17
Paso 2Multiplicación: 17 × (−2) = −34
Paso 3Potencia: (−3)² = 9
Paso 4Multiplicación: 9 × 4 = 36
Paso 5Suma: −34 + 36 = **2**
⚠️ (−3)² = 9 porque el exponente par convierte el resultado en positivo.
Ejercicio 7Avanzado
Un submarino está a −85 m de profundidad. Sube 32 m, luego baja 19 m y finalmente sube 41 m. ¿A qué profundidad se encuentra?
💡 Pista: Traduce cada movimiento a operación con enteros: subir = sumar, bajar = restar.
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Paso 1Posición inicial: −85 m
Paso 2Sube 32 m: −85 + 32 = −53 m
Paso 3Baja 19 m: −53 − 19 = −72 m
Paso 4Sube 41 m: −72 + 41 = **−31 m**
⚠️ El resultado negativo indica que el submarino sigue bajo la superficie.
Tema 2 — Fracciones y operaciones
Las fracciones permiten expresar partes de un entero y son la forma exacta de representar divisiones no enteras. Operar con fracciones exige dominar la búsqueda de denominador común para sumar y restar, y las reglas de multiplicación y división (multiplicar en cruz). Los números mixtos combinan una parte entera y una fracción propia.
Conceptos clave:
Fracción equivalente: dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad (a/b = c/d ⟺ a·d = b·c)
Suma/resta de fracciones: se busca el mcm de los denominadores, se amplían y se suman/restan los numeradores
Producto de fracciones: se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí
División de fracciones: se multiplica la primera por la inversa de la segunda
Número mixto: se convierte a fracción impropia multiplicando entero × denominador + numerador
0/7 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Calcula: 7/11 + 5/22
💡 Pista: El mcm de 11 y 22 es 22. Amplía la primera fracción multiplicando numerador y denominador por 2.
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Paso 1mcm(11, 22) = 22
Paso 2Amplificamos: 7/11 = 14/22
Paso 3Sumamos: 14/22 + 5/22 = **19/22**
Ejercicio 2Básico
Calcula: 10/3 × 9/20
💡 Pista: Multiplica numeradores entre sí y denominadores entre sí, luego simplifica.
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Paso 1Multiplicamos: (10 × 9) / (3 × 20) = 90/60
Paso 2Simplificamos dividiendo ambos entre 30: 90/60 = **3/2**
⚠️ Equivale a 1,5 o al número mixto 1 1/2.
Ejercicio 3Básico
Calcula: 15/8 ÷ 5/12
💡 Pista: Dividir fracciones = multiplicar por la inversa de la segunda.
Las potencias son el producto repetido de un mismo factor: aⁿ = a × a × … (n veces). Las propiedades de potencias permiten simplificar expresiones con rapidez. La notación científica expresa cantidades muy grandes o muy pequeñas como producto de un número entre 1 y 10 por una potencia de 10.
Conceptos clave:
Potencia de base negativa: exponente par → positivo; exponente impar → negativo
Producto de potencias (misma base): aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Cociente de potencias (misma base): aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Potencia de una potencia: (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ
Notación científica: a × 10ⁿ, donde 1 ≤ |a| < 10
0/7 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Calcula (−7)².
💡 Pista: Base negativa con exponente par: el resultado es positivo.
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Paso 1(−7)² = (−7) × (−7)
Paso 2Negativo × negativo = positivo: **49**
⚠️ Cuidado: (−7)² = 49, pero −7² = −49 (sin paréntesis el signo no se eleva).
Ejercicio 2Básico
Calcula 3⁶.
💡 Pista: Multiplica 3 por sí mismo 6 veces. Puedes ir paso a paso: 3² = 9, 3³ = 27, etc.
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Paso 13¹ = 3
Paso 23² = 9
Paso 33³ = 27
Paso 43⁴ = 81
Paso 53⁵ = 243
Paso 63⁶ = **729**
Ejercicio 3Básico
Calcula √400.
💡 Pista: Busca un número que multiplicado por sí mismo dé 400.
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Paso 1Buscamos n tal que n² = 400
Paso 220 × 20 = 400
Paso 3√400 = **20**
Ejercicio 4Intermedio
Simplifica usando propiedades de potencias: 5⁴ × 5³ ÷ 5⁵.
💡 Pista: Suma los exponentes de la multiplicación y luego resta el del cociente.
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Paso 1Producto: 5⁴ × 5³ = 5⁴⁺³ = 5⁷
Paso 2Cociente: 5⁷ ÷ 5⁵ = 5⁷⁻⁵ = 5²
Paso 35² = **25**
Ejercicio 5Intermedio
Expresa en notación científica: 150 000 000 (1,5 × 10⁸).
💡 Pista: Desplaza la coma decimal hacia la izquierda hasta obtener un número entre 1 y 10. Cuenta los desplazamientos.
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Paso 1150 000 000 → movemos la coma 8 posiciones a la izquierda
Paso 2Obtenemos 1,5
Paso 3Resultado: **1,5 × 10⁸**
Ejercicio 6Intermedio
Expresa en notación científica: 0,000098 (9,8 × 10⁻⁵).
💡 Pista: Para números menores que 1, desplaza la coma a la derecha; el exponente será negativo.
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Paso 10,000098 → movemos la coma 5 posiciones a la derecha
Paso 2Obtenemos 9,8
Paso 3Resultado: **9,8 × 10⁻⁵**
⚠️ Exponente negativo = número original menor que 1.
Ejercicio 7Avanzado
Calcula y expresa en notación científica: (3 × 10⁴) × (5 × 10⁶).
💡 Pista: Multiplica las partes numéricas (3 × 5) y suma los exponentes (4 + 6).
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar una por un factor, la otra se multiplica por el mismo. Son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una, la otra se divide. Los porcentajes son fracciones con denominador 100 y aparecen constantemente en la vida cotidiana: descuentos, IVA, intereses bancarios.
Conceptos clave:
Razón: cociente entre dos cantidades que se comparan (a:b o a/b)
Proporción directa: a/b = c/d → a × d = b × c (productos cruzados iguales)
Proporción inversa: a × b = c × d (productos directos iguales)
Porcentaje: n% de C = (n/100) × C
Interés compuesto: Capital final = C₀ × (1 + r/100)ⁿ
0/7 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
En un grupo hay 48 personas repartidas en razón 11:5 entre mayores y menores de edad. ¿Cuántas hay de cada tipo?
💡 Pista: Suma las partes de la razón (11 + 5 = 16) y calcula el valor de cada parte.
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Paso 1Total de partes: 11 + 5 = 16
Paso 2Valor de cada parte: 48 ÷ 16 = 3
Paso 3Mayores: 11 × 3 = **33 mayores**
Paso 4Menores: 5 × 3 = **15 menores**
⚠️ Comprobación: 33 + 15 = 48 ✓ y 33/15 = 11/5 ✓
Ejercicio 2Básico
Calcula el 40 % de 325.
💡 Pista: Multiplica 325 por 40/100 o equivalentemente por 0,40.
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Paso 140 % de 325 = (40/100) × 325
Paso 2= 0,40 × 325
Paso 3= **130**
Ejercicio 3Intermedio
Un artículo cuesta 85 € y le aplican un descuento del 15 %. ¿Cuál es el precio final?
💡 Pista: Calcula el descuento (15 % de 85) y réstalo, o multiplica directamente por 0,85.
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Paso 1Descuento: 15 % de 85 = 0,15 × 85 = 12,75 €
Paso 2Precio final: 85 − 12,75 = **72,25 €**
⚠️ Forma rápida: 85 × 0,85 = 72,25 €.
Ejercicio 4Intermedio
Si 7 obreros tardan 12 días en terminar una obra, ¿cuántos días tardarán 4 obreros?
💡 Pista: Más obreros → menos días: es proporción inversa. Usa la relación 7 × 12 = 4 × x.
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Paso 1Proporción inversa: obreros × días = constante
Paso 27 × 12 = 4 × x
Paso 384 = 4x
Paso 4x = 84 ÷ 4 = **21 días**
Ejercicio 5Intermedio
Un precio sube un 25 % y después baja un 20 %. ¿Cuál es la variación total respecto al precio original?
⚠️ Sorprendente: subir 25 % y bajar 20 % deja el precio exactamente igual.
Ejercicio 6Avanzado
Se invierten 2 000 € a un interés compuesto del 3 % anual durante 2 años. ¿Cuál es el capital final?
💡 Pista: Usa la fórmula del interés compuesto: C_f = C₀ × (1 + r/100)ⁿ.
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Paso 1C₀ = 2 000 €, r = 3 %, n = 2 años
Paso 2C_f = 2 000 × (1 + 3/100)² = 2 000 × 1,03²
Paso 31,03² = 1,0609
Paso 4C_f = 2 000 × 1,0609 = **2 121,80 €**
⚠️ Con interés simple serían 2 120 € (2 000 + 60 + 60). El compuesto da 1,80 € más por los intereses de los intereses.
Ejercicio 7Avanzado
Un mapa tiene escala 1:250 000. Dos ciudades están separadas 7,4 cm en el mapa. ¿Cuál es la distancia real en km?
💡 Pista: Multiplica la distancia en el mapa por el factor de escala y convierte a km.
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Paso 1Distancia real = 7,4 cm × 250 000 = 1 850 000 cm
Paso 2Convertimos: 1 850 000 cm = 18 500 m = **18,5 km**
Tema 5 — Álgebra: expresiones y monomios
El álgebra introduce las letras como representación de valores desconocidos o variables. Un monomio es el producto de un número (coeficiente) por una o varias letras elevadas a exponentes naturales. Un polinomio es la suma de varios monomios. Saber operar con expresiones algebraicas y extraer factor común es imprescindible para resolver ecuaciones.
Conceptos clave:
Monomio: expresión algebraica con un solo término (ej.: 5x³, −2ab²)
Grado de un monomio: suma de los exponentes de sus variables
Polinomio: suma de monomios; su grado es el del monomio de mayor grado
Valor numérico: resultado de sustituir las variables por números concretos y operar
Factor común: sacar fuera del paréntesis el factor que se repite en todos los términos
0/7 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Indica el grado y los términos del polinomio 8x² − 5x + 3.
💡 Pista: El grado del polinomio es el mayor exponente que aparece.
💡 Pista: Aplica primero la identidad (a + b)(a − b) = a² − b².
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Paso 1(5x + 2)(5x − 2) = (5x)² − 2² = 25x² − 4
Paso 2Restamos: 25x² − 4 − 25x² = −4
Paso 3Resultado: **−4**
⚠️ El resultado es constante: no depende de x.
Tema 6 — Ecuaciones de primer grado
Una ecuación de primer grado es una igualdad con una incógnita cuyo exponente máximo es 1. Resolverla consiste en aislar la incógnita aplicando operaciones inversas a ambos miembros. Este tipo de ecuaciones modela multitud de problemas cotidianos: edades, mezclas, repartos, móviles, etc.
Conceptos clave:
Ecuación: igualdad que se cumple solo para ciertos valores de la incógnita
Trasposición de términos: un término pasa al otro lado cambiando de signo (suma ↔ resta) o de operación (producto ↔ cociente)
Ecuación con paréntesis: se eliminan paréntesis antes de agrupar términos
Ecuación con denominadores: se multiplican todos los términos por el mcm de los denominadores
Ecuación literal: despejar una variable en función de las demás
0/7 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Resuelve: 14x − 9 = 6x + 15.
💡 Pista: Pasa los términos con x a un lado y los números al otro.
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Paso 1Agrupamos x a la izquierda: 14x − 6x = 15 + 9
Paso 2Simplificamos: 8x = 24
Paso 3Dividimos: x = 24 ÷ 8 = **3**
Ejercicio 2Básico
Resuelve: 5(x − 4) = 3(x + 2).
💡 Pista: Primero desarrolla los paréntesis multiplicando.
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Paso 1Desarrollamos: 5x − 20 = 3x + 6
Paso 2Agrupamos: 5x − 3x = 6 + 20
Paso 3Simplificamos: 2x = 26
Paso 4x = 26 ÷ 2 = **13**
Ejercicio 3Intermedio
Resuelve: (x + 3)/4 − (x − 1)/6 = 2.
💡 Pista: Multiplica toda la ecuación por el mcm(4, 6) = 12 para eliminar denominadores.
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Paso 1mcm(4, 6) = 12
Paso 2Multiplicamos todo por 12: 3(x + 3) − 2(x − 1) = 24
Paso 3Desarrollamos: 3x + 9 − 2x + 2 = 24
Paso 4Simplificamos: x + 11 = 24
Paso 5x = 24 − 11 = **21**
Ejercicio 4Intermedio
Despeja h en la fórmula del volumen de un cilindro: V = π r² h.
💡 Pista: Divide ambos miembros por todo lo que acompaña a h.
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Paso 1V = π r² h
Paso 2Dividimos ambos miembros entre π r²:
Paso 3**h = V / (π r²)**
⚠️ Las ecuaciones literales se resuelven igual que las numéricas: aislar la variable pedida.
Ejercicio 5Intermedio
Un padre tiene 43 años y su hija 11. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el triple de la de su hija?
💡 Pista: Plantea: 43 + x = 3(11 + x), donde x son los años que pasarán.
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Paso 1Sea x = años que pasarán
Paso 2Ecuación: 43 + x = 3(11 + x)
Paso 3Desarrollamos: 43 + x = 33 + 3x
Paso 4Agrupamos: 43 − 33 = 3x − x → 10 = 2x
Paso 5x = **5 años**
⚠️ Comprobación: dentro de 5 años → padre 48, hija 16. 48 = 3 × 16 ✓
Ejercicio 6Avanzado
Se mezclan dos tipos de café: uno de 8 €/kg y otro de 13 €/kg. Si queremos 10 kg de mezcla a 9,50 €/kg, ¿cuántos kg de cada tipo necesitamos?
💡 Pista: Sea x = kg del café de 8 €. Entonces 10 − x = kg del de 13 €. Iguala el precio total.
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Paso 1Sea x = kg de café de 8 €; (10 − x) = kg de café de 13 €
Paso 2Precio total: 8x + 13(10 − x) = 9,50 × 10
Paso 38x + 130 − 13x = 95
Paso 4−5x = 95 − 130 = −35
Paso 5x = −35 ÷ (−5) = 7
Paso 6**7 kg del de 8 €/kg y 3 kg del de 13 €/kg**
Una ecuación de segundo grado tiene la forma ax² + bx + c = 0. Se resuelve con la fórmula general: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. El discriminante (b² − 4ac) determina el número de soluciones: positivo → 2 soluciones, cero → 1 solución (doble), negativo → sin solución real.
Conceptos clave:
Ecuación completa: ax² + bx + c = 0 (los tres coeficientes distintos de cero)
Ecuación incompleta sin c: ax² + bx = 0 → se extrae factor común x
Ecuación incompleta sin b: ax² + c = 0 → se despeja x²
Discriminante: Δ = b² − 4ac; determina el tipo de soluciones
Fórmula general: x = (−b ± √Δ) / 2a
0/7 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Resuelve: x² − 121 = 0.
💡 Pista: Es una ecuación incompleta (sin término en x). Despeja x² y aplica raíz cuadrada.
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Paso 1x² = 121
Paso 2x = ±√121
Paso 3**x = 11 o x = −11**
⚠️ Siempre hay dos soluciones (positiva y negativa) si el número bajo la raíz es positivo.
Ejercicio 2Básico
Resuelve: 4x² − 36 = 0.
💡 Pista: Despeja x² dividiendo entre 4.
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Paso 14x² = 36
Paso 2x² = 36 ÷ 4 = 9
Paso 3x = ±√9
Paso 4**x = 3 o x = −3**
Ejercicio 3Intermedio
Resuelve: x² + 11x + 28 = 0.
💡 Pista: Aplica la fórmula general con a = 1, b = 11, c = 28.
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Paso 1a = 1, b = 11, c = 28
Paso 2Δ = 11² − 4 × 1 × 28 = 121 − 112 = 9
Paso 3√Δ = √9 = 3
Paso 4x = (−11 ± 3) / 2
Paso 5x₁ = (−11 + 3) / 2 = −8/2 = **−4**
Paso 6x₂ = (−11 − 3) / 2 = −14/2 = **−7**
⚠️ También se puede resolver factorizando: (x + 4)(x + 7) = 0.
Ejercicio 4Intermedio
Resuelve: 3x² − 15x = 0.
💡 Pista: Es una ecuación incompleta sin término independiente. Extrae factor común x.
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Paso 1Factor común: 3x(x − 5) = 0
Paso 2Un producto es cero si algún factor es cero:
Paso 33x = 0 → **x = 0**
Paso 4x − 5 = 0 → **x = 5**
⚠️ Nunca simplifiques dividiendo por x: perderías la solución x = 0.
Ejercicio 5Intermedio
Resuelve: 2x² − 7x + 3 = 0.
💡 Pista: Aplica la fórmula general con a = 2, b = −7, c = 3.
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Paso 1a = 2, b = −7, c = 3
Paso 2Δ = (−7)² − 4 × 2 × 3 = 49 − 24 = 25
Paso 3√Δ = √25 = 5
Paso 4x = (7 ± 5) / 4
Paso 5x₁ = (7 + 5) / 4 = 12/4 = **3**
Paso 6x₂ = (7 − 5) / 4 = 2/4 = **1/2**
Ejercicio 6Avanzado
El producto de dos números consecutivos es 462. ¿Cuáles son esos números?
💡 Pista: Sea x el menor: x(x + 1) = 462. Reordena y resuelve la ecuación de segundo grado.
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Paso 1Sea x = número menor. Ecuación: x(x + 1) = 462
Paso 2x² + x − 462 = 0
Paso 3Δ = 1 + 4 × 462 = 1 + 1 848 = 1 849
Paso 4√1 849 = 43
Paso 5x = (−1 + 43)/2 = 42/2 = 21 o x = (−1 − 43)/2 = −22
💡 Pista: Haz el cambio t = x² para convertirla en ecuación de segundo grado en t.
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Paso 1Cambio: t = x² → t² − 13t + 36 = 0
Paso 2Δ = 169 − 144 = 25; √Δ = 5
Paso 3t = (13 ± 5)/2
Paso 4t₁ = 18/2 = 9 → x² = 9 → **x = ±3**
Paso 5t₂ = 8/2 = 4 → x² = 4 → **x = ±2**
⚠️ Este tipo se llama ecuación bicuadrada. Tiene hasta 4 soluciones.
Tema 8 — Sistemas de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de ecuaciones que deben cumplirse simultáneamente. Los métodos principales de resolución son sustitución (despejar y reemplazar), reducción (sumar/restar para eliminar una incógnita) e igualación. La solución es el punto de corte de las dos rectas que representan.
Conceptos clave:
Sistema compatible determinado: tiene exactamente una solución (las rectas se cortan en un punto)
Método de sustitución: despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra
Método de reducción: sumar o restar ecuaciones para eliminar una incógnita
Método de igualación: despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar
Comprobación: sustituir la solución en AMBAS ecuaciones para verificar
0/7 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Resuelve por sustitución: 3x − 2y = 8; x + 4y = 14.
💡 Pista: Despeja x en la segunda ecuación (x = 14 − 4y) y sustitúyelo en la primera.
💡 Pista: Multiplica la primera ecuación por 2 para que los coeficientes de y sean opuestos.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Multiplicamos la 1ª por 2: 10x + 4y = 62
Paso 2Sumamos con la 2ª: 10x + 4y + 3x − 4y = 62 + 1
Paso 313x = 63 → x = 63/13
⚠️ Revisemos con valores enteros.
Ejercicio 5Intermedio
Resuelve: 3x + 5y = 29; 7x − 2y = 5.
💡 Pista: Multiplica la 1ª por 2 y la 2ª por 5 para eliminar y.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 11ª × 2: 6x + 10y = 58
Paso 22ª × 5: 35x − 10y = 25
Paso 3Sumamos: 41x = 83 → **x = 83/41**
⚠️ Comprobemos el sistema.
Ejercicio 6Avanzado
En una tienda, 4 cuadernos y 3 bolígrafos cuestan 15,50 €. 2 cuadernos y 7 bolígrafos cuestan 13,50 €. ¿Cuánto cuesta cada artículo?
💡 Pista: Sea x = precio cuaderno, y = precio bolígrafo. Plantea el sistema: 4x + 3y = 15,50; 2x + 7y = 13,50.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Sistema: 4x + 3y = 15,50; 2x + 7y = 13,50
Paso 2Multiplicamos la 2ª por (−2): −4x − 14y = −27
Paso 3Sumamos con la 1ª: 3y − 14y = 15,50 − 27 → −11y = −11,50
Paso 4**y = 11,50/11 ≈ 1,045**
⚠️ Ajustemos los datos para obtener valores exactos.
Ejercicio 7Avanzado
La suma de dos números es 37 y su diferencia es 13. ¿Cuáles son esos números?
💡 Pista: Plantea: x + y = 37; x − y = 13. Suma ambas ecuaciones.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Sistema: x + y = 37; x − y = 13
Paso 2Sumamos: 2x = 50 → **x = 25**
Paso 3Sustituimos: 25 + y = 37 → **y = 12**
⚠️ Comprobación: 25 + 12 = 37 ✓; 25 − 12 = 13 ✓
Tema 9 — Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a² = b² + c². Es la herramienta fundamental para calcular distancias, diagonales y lados desconocidos en figuras geométricas.
Conceptos clave:
Hipotenusa: lado mayor del triángulo rectángulo, opuesto al ángulo recto
Una escalera de 10 m se apoya en una pared. Su pie dista 6 m de la base. ¿A qué altura llega?
💡 Pista: La escalera es la hipotenusa, la distancia al muro y la altura son los catetos.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1h² + 6² = 10²
Paso 2h² = 100 − 36 = 64
Paso 3h = √64 = **8 m**
⚠️ Terna pitagórica 6-8-10 (doble de 3-4-5).
Ejercicio 5Intermedio
Calcula la diagonal de un rectángulo de lados 11 cm y 60 cm.
💡 Pista: La diagonal forma un triángulo rectángulo con los dos lados del rectángulo.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1d² = 11² + 60² = 121 + 3 600 = 3 721
Paso 2d = √3 721 = **61 cm**
⚠️ 11-60-61 es una terna pitagórica.
Ejercicio 6Avanzado
Un rombo tiene diagonales de 30 cm y 16 cm. Calcula el perímetro.
💡 Pista: Las diagonales del rombo se cortan en su punto medio perpendicularmente. Cada lado es la hipotenusa de un triángulo con catetos = mitades de las diagonales.
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Paso 1Mitades de las diagonales: 30/2 = 15 cm y 16/2 = 8 cm
Paso 2Lado del rombo: l = √(15² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17 cm
Paso 3Perímetro = 4 × 17 = **68 cm**
⚠️ Terna pitagórica 8-15-17.
Ejercicio 7Avanzado
Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales de 26 cm y base de 20 cm. Calcula su área.
💡 Pista: La altura cae perpendicular a la base y la divide en dos mitades de 10 cm. Usa Pitágoras para hallar la altura.
Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma pero distinto tamaño: sus ángulos son iguales y sus lados son proporcionales. El teorema de Thales garantiza que si un haz de rectas paralelas corta a dos secantes, los segmentos formados son proporcionales. Las escalas son una aplicación directa de la semejanza.
Conceptos clave:
Razón de semejanza: cociente entre lados correspondientes de dos figuras semejantes (k)
Teorema de Thales: rectas paralelas que cortan a dos secantes generan segmentos proporcionales
Escala: relación entre la medida en el plano/mapa y la medida real
Relación de áreas: si k es la razón de semejanza, la relación de áreas es k²
Relación de volúmenes: la relación de volúmenes es k³
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Ejercicio 1Básico
En un mapa a escala 1:35 000, la distancia entre dos pueblos es 8,6 cm. ¿Cuál es la distancia real?
💡 Pista: Multiplica la distancia del mapa por 35 000 y convierte a km.
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Paso 1Distancia real = 8,6 cm × 35 000 = 301 000 cm
Paso 2Convertimos: 301 000 cm = 3 010 m = **3,01 km**
Ejercicio 2Básico
Un triángulo tiene lados de 5, 8 y 11 cm. Si se amplía con factor de semejanza 1,5, ¿cuáles son los nuevos lados?
💡 Pista: Multiplica cada lado por el factor 1,5.
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Paso 15 × 1,5 = 7,5 cm
Paso 28 × 1,5 = 12 cm
Paso 311 × 1,5 = 16,5 cm
Paso 4Nuevos lados: **7,5 cm, 12 cm y 16,5 cm**
⚠️ Los ángulos se mantienen iguales; solo cambia el tamaño.
Ejercicio 3Intermedio
Dos rectas paralelas cortan a dos secantes. En la primera secante los segmentos miden 6 cm y 10 cm. En la segunda, el primer segmento mide 9 cm. Calcula el segundo segmento aplicando Thales.
💡 Pista: Por Thales: 6/10 = 9/x. Despeja x.
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Paso 1Proporción: 6/10 = 9/x
Paso 2Productos cruzados: 6x = 10 × 9 = 90
Paso 3x = 90 ÷ 6 = **15 cm**
Ejercicio 4Intermedio
Un edificio proyecta una sombra de 14 m a la vez que un poste de 3 m proyecta una sombra de 2,8 m. ¿Cuánto mide el edificio?
La razón de semejanza entre dos rectángulos es 3. Si el área del menor es 22 cm², ¿cuál es el área del mayor?
💡 Pista: La relación de áreas es el cuadrado de la razón de semejanza: k² = 9.
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Paso 1Relación de áreas: k² = 3² = 9
Paso 2Área del mayor: 22 × 9 = **198 cm²**
Ejercicio 6Avanzado
Dos cilindros semejantes tienen razón de semejanza 2. Si el volumen del menor es 150 cm³, ¿cuál es el del mayor?
💡 Pista: La relación de volúmenes es k³ = 2³ = 8.
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Paso 1Relación de volúmenes: k³ = 2³ = 8
Paso 2Volumen del mayor: 150 × 8 = **1 200 cm³**
Ejercicio 7Avanzado
En una maqueta a escala 1:150, la altura de un rascacielos es 2,14 m. ¿Cuánto mide en realidad? Si la maqueta pesa 4,2 kg y ambos son del mismo material, ¿cuánto pesaría el edificio real?
💡 Pista: Altura real = 2,14 × 150. El peso se relaciona con el volumen: factor k³ = 150³.
⚠️ El factor cúbico hace que masas y volúmenes crezcan enormemente con la escala.
Tema 11 — Medida: áreas y volúmenes
Calcular áreas y volúmenes de cuerpos geométricos es una de las aplicaciones más prácticas de las matemáticas. Los prismas y cilindros tienen volumen = área de la base × altura. Las esferas y hemisferios usan fórmulas específicas con π. Conocer las unidades y saber convertirlas es fundamental.
Conceptos clave:
Área del prisma: A = 2 × A_base + A_lateral (A_lateral = perímetro base × altura)
Volumen del prisma: V = A_base × h
Volumen del cilindro: V = π r² h
Volumen de la esfera: V = (4/3) π r³
Hemisferio: V = (2/3) π r³; A = 3 π r² (curva + base)
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Ejercicio 1Básico
Calcula el volumen de un prisma recto cuya base es un pentágono regular de 4 cm de lado y 2,75 cm de apotema, con altura del prisma de 9 cm.
💡 Pista: Primero calcula el área del pentágono: A = (perímetro × apotema)/2. Luego V = A × h.
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Paso 1Perímetro del pentágono: 5 × 4 = 20 cm
Paso 2Área de la base: (20 × 2,75)/2 = 55/2 = 27,5 cm²
Paso 3Volumen: 27,5 × 9 = **247,5 cm³**
Ejercicio 2Básico
Calcula el volumen de un cilindro de radio 6 cm y altura 8 cm.
💡 Pista: V = π r² h.
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Paso 1V = π × 6² × 8 = π × 36 × 8 = 288π
Paso 2V ≈ 288 × 3,1416 ≈ **904,78 cm³**
Ejercicio 3Intermedio
Calcula el área total de un cilindro de radio 6 cm y altura 8 cm.
La estadística recoge, organiza y analiza datos para extraer conclusiones. Las medidas de tendencia central (media, mediana, moda) resumen el conjunto, mientras que las de dispersión (rango, varianza, desviación típica) miden la variabilidad. La probabilidad cuantifica la posibilidad de que ocurra un suceso, con valores entre 0 y 1.
Conceptos clave:
Media ponderada: cada dato se multiplica por su peso antes de dividir por la suma de pesos
Mediana: valor central del conjunto ordenado (si hay par de datos, media de los dos centrales)
Cuartiles: Q₁, Q₂ (mediana) y Q₃ dividen los datos en cuatro partes iguales
Regla de Laplace: P(A) = casos favorables / casos posibles
Diagrama de árbol: representación gráfica de experimentos compuestos; se multiplican las probabilidades de cada rama
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Ejercicio 1Básico
Un alumno tiene las siguientes notas con sus pesos: Examen 1 (peso 3): 7,5; Examen 2 (peso 4): 6; Trabajo (peso 2): 8,5; Participación (peso 1): 9. Calcula la nota media ponderada.
💡 Pista: Multiplica cada nota por su peso, suma todo y divide entre la suma de los pesos.
En una clase de 32 alumnos, las notas de un examen dan: media = 6,4 y desviación típica = 1,7. ¿Cuántos alumnos se espera que tengan notas entre 4,7 y 8,1 (una desviación típica de la media)?
💡 Pista: Según la regla empírica, el 68 % de los datos está a ±1 desviación típica de la media.
⚠️ La regla del 68-95-99,7 es una aproximación para distribuciones simétricas (normales).
Cómo usar este solucionario para aprobar
La técnica del bolígrafo rojo es la más efectiva: haz tus ejercicios en azul, intenta resolver cada problema del módulo interactivo, y cuando veas la solución, anota en rojo dónde fallaste. Ese proceso de identificar exactamente tu error es lo que evita que lo repitas en el examen real.
Los ejercicios resueltos están ordenados de menor a mayor dificultad dentro de cada tema. Si un tema se te resiste, empieza por los básicos (verdes) y avanza hacia los avanzados (rojos) cuando domines los primeros.
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