Solucionario del libro de Matemáticas 2 ESO SM (serie Esfera) con todos los ejercicios resueltos paso a paso. Abarca desde los números enteros y fracciones hasta las ecuaciones de segundo grado, el teorema de Pitágoras y la estadística, cubriendo los bloques que más dificultades generan en segundo de la ESO. Cada ejercicio incluye resolución detallada, pistas y notas para que puedas preparar tus exámenes con total confianza.
En este solucionario de Matemáticas 2 ESO SM Esfera encontrarás ejercicios interactivos con autocorrección instantánea, resúmenes de teoría por tema y soluciones paso a paso con explicación detallada. Cada ejercicio incluye autoevaluación con pistas progresivas y una barra de progreso para que controles cuánto llevas de cada tema. Todo el contenido está adaptado al currículo oficial de 2º ESO.
👆 Haz click en un tema del índice de arriba para ver los ejercicios resueltos, la teoría resumida y la autoevaluación interactiva.
Tema 1 — Números enteros y divisibilidad
Los números enteros (ℤ) amplían los naturales incluyendo los negativos y el cero. En este tema se trabajan las operaciones combinadas respetando la jerarquía (paréntesis, potencias, multiplicación/división, suma/resta) y los conceptos de divisibilidad: múltiplos, divisores, MCD y mcm, imprescindibles para operar con fracciones.
Conceptos clave:
Valor absoluto: |−11| = 11. Indica la distancia al cero sin considerar el signo
Regla de signos en sumas: signos iguales → se suman y se conserva el signo; signos distintos → se restan y se pone el del mayor
Regla de signos en productos: (+)(+)=+, (−)(−)=+, (+)(−)=−, (−)(+)=−
MCD: mayor divisor común. Se descompone en primos y se toman los factores comunes con el menor exponente
mcm: menor múltiplo común. Se toman todos los factores primos con el mayor exponente
0/7 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Calcula: (−8) + (+3) − (−11)
💡 Pista: Elimina los paréntesis: − delante de (−11) se convierte en +11.
Tres hermanos se reparten 90 cromos. El primero recibe 1/3 del total, el segundo 2/5 del total y el tercero el resto. ¿Cuántos recibe cada uno?
💡 Pista: Calcula primero las fracciones del total: 90 × 1/3 y 90 × 2/5.
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Paso 1Primero: 90 × 1/3 = 30 cromos
Paso 2Segundo: 90 × 2/5 = 36 cromos
Paso 3Tercero: 90 − 30 − 36 = **24 cromos**
Paso 4Comprobación: 30 + 36 + 24 = 90 ✓
⚠️ El tercero recibe 24/90 = 4/15 del total.
Tema 2 — Fracciones y operaciones
Las fracciones representan partes de un entero. Para sumar o restar fracciones con distinto denominador se necesita el mcm de los denominadores. La multiplicación se realiza numerador × numerador y denominador × denominador, y la división se resuelve multiplicando en cruz. Simplificar siempre al final dividiendo por el MCD.
Conceptos clave:
Fracciones equivalentes: dos fracciones son equivalentes si su producto en cruz es igual (a/b = c/d ↔ a×d = b×c)
Fracción irreducible: aquella cuyo numerador y denominador son primos entre sí (MCD = 1)
Suma/Resta: se busca el mcm de los denominadores, se amplifican las fracciones y se suman/restan los numeradores
Multiplicación: se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí
División: se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda
0/7 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Simplifica la fracción 24/36 hasta obtener la fracción irreducible.
💡 Pista: Calcula el MCD de 24 y 36 y divide ambos términos por él.
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Paso 1MCD(24, 36) = 12
Paso 2Dividimos numerador: 24 ÷ 12 = 2
Paso 3Dividimos denominador: 36 ÷ 12 = 3
Paso 4Fracción irreducible: **2/3**
Ejercicio 2Básico
Calcula: 5/9 + 7/12
💡 Pista: Busca el mcm de 9 y 12 para obtener el denominador común.
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Paso 1mcm(9, 12) = 36
Paso 2Amplificamos: 5/9 = 20/36 y 7/12 = 21/36
Paso 3Sumamos numeradores: 20 + 21 = 41
Paso 4Resultado: **41/36**
⚠️ 41/36 es ya irreducible (MCD de 41 y 36 es 1, ya que 41 es primo).
Ejercicio 3Intermedio
Calcula: 8/3 × 5/6
💡 Pista: Multiplica numeradores entre sí y denominadores entre sí, luego simplifica.
⚠️ Curiosamente queda por llenar exactamente lo que se llenó por la mañana.
Tema 3 — Números decimales y fracciones
Todo número racional puede expresarse como fracción o como decimal (exacto o periódico). Los decimales exactos tienen un número finito de cifras decimales. Los decimales periódicos repiten una secuencia infinitamente: periódicos puros (se repite desde la coma) y periódicos mixtos (hay cifras no periódicas antes del período).
Conceptos clave:
Decimal exacto → fracción: se escribe el número sin coma como numerador y la potencia de 10 correspondiente como denominador
Decimal periódico puro: el período comienza justo tras la coma. Para obtener la fracción generatriz: (cifras período) / tantos nueves como cifras tenga el período
Decimal periódico mixto: numerador = número completo sin coma − parte no periódica sin coma; denominador = tantos nueves como cifras del período seguidos de tantos ceros como cifras de la parte no periódica
Ordenar decimales: se iguala el número de cifras decimales y se comparan de izquierda a derecha
Aproximación: truncamiento (se cortan las cifras) o redondeo (si la siguiente cifra ≥ 5, se sube)
0/7 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Expresa 0,875 como fracción irreducible.
💡 Pista: 0,875 tiene tres cifras decimales, así que el denominador será 1000.
⚠️ La diferencia es muy pequeña: apenas 0,00333...
Tema 4 — Potencias y notación científica
Una potencia aⁿ indica que la base a se multiplica por sí misma n veces. Las propiedades de las potencias permiten simplificar expresiones: producto de potencias de igual base, cociente, potencia de potencia. La notación científica expresa números muy grandes o muy pequeños como a × 10ⁿ, donde 1 ≤ a < 10.
Conceptos clave:
Producto de potencias (misma base): aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Cociente de potencias (misma base): aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Potencia de potencia: (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ
Potencia de exponente negativo: a⁻ⁿ = 1/aⁿ
Notación científica: número × 10ⁿ, con 1 ≤ número 0 el número real es grande; si n < 0 es pequeño
0/7 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Calcula: 4³
💡 Pista: 4³ = 4 × 4 × 4.
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Paso 14³ = 4 × 4 × 4
Paso 24 × 4 = 16
Paso 316 × 4 = **64**
Ejercicio 2Básico
Calcula: (−5)²
💡 Pista: Base negativa con exponente par → resultado positivo.
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Paso 1(−5)² = (−5) × (−5)
Paso 2Negativo × negativo = positivo: **25**
⚠️ Atención: (−5)² = 25, pero −5² = −25 (sin paréntesis el signo no es parte de la base).
Ejercicio 3Intermedio
Simplifica: 3⁵ × 3² ÷ 3⁴
💡 Pista: Suma los exponentes del producto y resta el del cociente: 5 + 2 − 4.
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Paso 1Producto: 3⁵ × 3² = 3⁵⁺² = 3⁷
Paso 2Cociente: 3⁷ ÷ 3⁴ = 3⁷⁻⁴ = 3³
Paso 33³ = **27**
Ejercicio 4Intermedio
Expresa en notación científica: 380.000
💡 Pista: Mueve la coma hasta que quede un número entre 1 y 10. Cuenta los saltos.
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Paso 1380.000 → 3,80000
Paso 2La coma se ha desplazado 5 posiciones a la izquierda
Paso 3Resultado: **3,8 × 10⁵**
Ejercicio 5Intermedio
Expresa 6,02 × 10²³ como número entero (escribe las primeras cifras y la cantidad de ceros).
💡 Pista: Mueve la coma 23 posiciones a la derecha.
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Paso 16,02 × 10²³: movemos la coma 23 posiciones a la derecha
Paso 26,02 → 602 y luego 21 ceros más
Paso 3Resultado: **602.000.000.000.000.000.000.000** (602 seguido de 21 ceros)
⚠️ Este es el número de Avogadro, fundamental en Química.
Ejercicio 6Avanzado
Simplifica y calcula: (2³)² × 2⁻⁴
💡 Pista: Primero aplica potencia de potencia: (2³)² = 2⁶. Luego suma exponentes.
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Paso 1Potencia de potencia: (2³)² = 2³ˣ² = 2⁶
Paso 2Producto: 2⁶ × 2⁻⁴ = 2⁶⁺⁽⁻⁴⁾ = 2²
Paso 32² = **4**
Ejercicio 7Avanzado
Un virus mide 0,000000085 m. Exprésalo en notación científica y en nanómetros (1 nm = 10⁻⁹ m).
💡 Pista: Mueve la coma a la derecha hasta obtener un número entre 1 y 10. Cada posición resta 1 al exponente.
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Paso 10,000000085 → 8,5 (coma desplazada 8 posiciones a la derecha)
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra se multiplica por el mismo. Son inversamente proporcionales si al multiplicar una, la otra se divide. Los porcentajes son proporciones respecto a 100 y se aplican en descuentos, aumentos e impuestos.
Conceptos clave:
Razón: cociente entre dos magnitudes. La razón 5:8 significa 5/8
Proporción directa: a/b = c/d → se resuelve con regla de tres directa
Proporción inversa: a×b = c×d → se resuelve con regla de tres inversa
Porcentaje: n% de C = (n/100) × C
Proporción compuesta: combina varias magnitudes directas e/o inversas en una misma regla de tres
0/7 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
En una clase la razón de chicos a chicas es 5:8. Si hay 24 chicas, ¿cuántos chicos hay?
💡 Pista: 5:8 significa que por cada 8 chicas hay 5 chicos. Plantea la proporción 5/8 = x/24.
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Paso 1Proporción: 5/8 = x/24
Paso 2x = 5 × 24 ÷ 8
Paso 3x = 120 ÷ 8 = **15 chicos**
⚠️ Total de alumnos: 15 + 24 = 39.
Ejercicio 2Básico
Un artículo cuesta 150 € y tiene un 18% de descuento. ¿Cuál es el precio final?
⚠️ Resultado contraintuitivo: subir 25% y bajar 20% NO se cancelan en general, pero en este caso sí porque 1,25 × 0,80 = 1.
Tema 6 — Lenguaje algebraico
El lenguaje algebraico utiliza letras para representar números desconocidos o variables. Un monomio es un producto de un número (coeficiente) por una o más variables elevadas a exponentes naturales. Se pueden sumar monomios semejantes (misma parte literal). El valor numérico se obtiene sustituyendo las variables por números concretos.
Conceptos clave:
Monomio: expresión formada por un coeficiente y variables con exponentes naturales (ej: 3x²y)
Monomios semejantes: tienen la misma parte literal (mismas variables con mismos exponentes)
Polinomio: suma de monomios. El grado es el mayor exponente
Valor numérico: se sustituyen las variables por los valores dados y se calcula
💡 Pista: El primer producto es una suma por diferencia: (a−b)(a+b) = a² − b². El segundo es un cuadrado de un binomio.
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Paso 1(2x − 3)(2x + 3) = (2x)² − 3² = 4x² − 9
Paso 2(x − 4)² = x² − 8x + 16
Paso 3Restamos: (4x² − 9) − (x² − 8x + 16)
Paso 4= 4x² − 9 − x² + 8x − 16
Paso 5= **3x² + 8x − 25**
⚠️ Al restar el paréntesis cambian TODOS los signos interiores.
Tema 7 — Ecuaciones de primer grado
Una ecuación de primer grado tiene la forma ax + b = 0 (la incógnita aparece con exponente 1). Para resolverla se aísla la x: se pasan los términos con x a un lado, los números al otro, y se despeja. Si hay paréntesis, se desarrollan primero. Si hay denominadores, se multiplica toda la ecuación por el mcm de los denominadores.
Conceptos clave:
Trasposición de términos: un término pasa al otro lado cambiando de signo (+ → − y viceversa)
Ecuaciones con paréntesis: se aplica la propiedad distributiva antes de agrupar
Ecuaciones con denominadores: se multiplican todos los términos por el mcm de los denominadores
Ecuación sin solución: se llega a una igualdad falsa (ej: 0 = 5)
Ecuación con infinitas soluciones: se llega a una identidad (ej: 0 = 0)
0/7 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Resuelve: 6x − 4 = 3x + 8
💡 Pista: Pasa las x a la izquierda y los números a la derecha.
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Paso 16x − 3x = 8 + 4
Paso 23x = 12
Paso 3x = 12 ÷ 3 = **4**
⚠️ Comprobación: 6(4) − 4 = 20 y 3(4) + 8 = 20. ✓
Ejercicio 2Básico
Resuelve: 4(x − 2) = 2x + 6
💡 Pista: Primero desarrolla el paréntesis: 4x − 8.
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Paso 1Desarrollamos: 4x − 8 = 2x + 6
Paso 24x − 2x = 6 + 8
Paso 32x = 14
Paso 4x = **7**
Ejercicio 3Intermedio
Resuelve: x/3 + x/4 = 7
💡 Pista: Multiplica toda la ecuación por el mcm de 3 y 4, que es 12.
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Paso 1mcm(3, 4) = 12. Multiplicamos todo por 12:
Paso 212 × (x/3) + 12 × (x/4) = 12 × 7
Paso 34x + 3x = 84
Paso 47x = 84
Paso 5x = **12**
Ejercicio 4Intermedio
Resuelve: 5(3x − 2) − 3(x + 7) = 2x + 9
💡 Pista: Desarrolla ambos paréntesis y luego agrupa.
Un tren sale de Madrid a 90 km/h. Una hora después sale otro tren del mismo punto a 120 km/h en la misma dirección. ¿Cuántas horas tarda el segundo tren en alcanzar al primero?
💡 Pista: Cuando se alcancen, ambos habrán recorrido la misma distancia. El primero lleva 1 hora de ventaja.
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Paso 1Sea t = horas que tarda el segundo tren
Paso 2El primer tren habrá viajado (t + 1) horas
Paso 3Distancia primer tren: 90(t + 1)
Paso 4Distancia segundo tren: 120t
Paso 5Igualamos: 90(t + 1) = 120t
Paso 690t + 90 = 120t
Paso 790 = 30t
Paso 8t = **3 horas**
⚠️ Se encuentran a 360 km de Madrid (120 × 3 = 360).
Ejercicio 7Avanzado
La suma de tres números consecutivos es 54. ¿Cuáles son?
💡 Pista: Llama x al primero: x, x+1, x+2. Su suma es 54.
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Paso 1Sea x el primer número. Los tres son: x, x+1, x+2
Paso 2Ecuación: x + (x+1) + (x+2) = 54
Paso 33x + 3 = 54
Paso 43x = 51
Paso 5x = 17
Paso 6Los tres números: **17, 18 y 19**
⚠️ Comprobación: 17 + 18 + 19 = 54. ✓
Tema 8 — Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado tiene la forma ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Se resuelve con la fórmula general: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a. El discriminante Δ = b²−4ac determina el número de soluciones: Δ > 0 → dos soluciones; Δ = 0 → una solución doble; Δ < 0 → sin solución real. Las ecuaciones incompletas pueden resolverse sin fórmula.
Conceptos clave:
Ecuación incompleta sin c (ax² + bx = 0): se saca factor común x → x(ax + b) = 0
Ecuación incompleta sin b (ax² + c = 0): se despeja x² = −c/a y se aplica raíz cuadrada
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: c² = a² + b². Este teorema permite calcular lados desconocidos, diagonales de rectángulos y distancias. También se usa para verificar si un triángulo es rectángulo.
Conceptos clave:
Hipotenusa: lado mayor del triángulo rectángulo, opuesto al ángulo recto
Catetos: los dos lados que forman el ángulo recto
Teorema: hipotenusa² = cateto₁² + cateto₂²
Hallar cateto: cateto = √(hipotenusa² − otro cateto²)
Ternas pitagóricas: tríos de enteros que cumplen el teorema (3,4,5), (5,12,13), (6,8,10), (8,15,17)…
0/7 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Un triángulo rectángulo tiene catetos de 6 cm y 8 cm. Calcula la hipotenusa.
💡 Pista: Aplica c² = 6² + 8².
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Paso 1c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
Paso 2c = √100 = **10 cm**
⚠️ La terna (6, 8, 10) es el doble de (3, 4, 5).
Ejercicio 2Básico
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm y un cateto mide 5 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto?
💡 Pista: Cateto = √(hipotenusa² − cateto²).
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Paso 1b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
Paso 2b = √144 = **12 cm**
⚠️ Terna pitagórica: (5, 12, 13).
Ejercicio 3Intermedio
Calcula la diagonal de un rectángulo de 9 cm × 12 cm.
💡 Pista: La diagonal divide al rectángulo en dos triángulos rectángulos. Los catetos son los lados del rectángulo.
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Paso 1d² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225
Paso 2d = √225 = **15 cm**
⚠️ Terna (9, 12, 15) = 3 × (3, 4, 5).
Ejercicio 4Intermedio
¿Es rectángulo un triángulo con lados 9, 40 y 41 cm? Justifica.
💡 Pista: Comprueba si el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos.
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Paso 1Lado mayor: 41. Comprobamos: 41² = 9² + 40²
Paso 241² = 1681
Paso 39² + 40² = 81 + 1600 = 1681
Paso 41681 = 1681 → **Sí, es rectángulo** ✓
⚠️ (9, 40, 41) es una terna pitagórica.
Ejercicio 5Intermedio
Una escalera de 6,5 m se apoya en una pared vertical. Si la base está a 2,5 m de la pared, ¿a qué altura de la pared llega?
💡 Pista: La escalera es la hipotenusa, la distancia al muro un cateto y la altura el otro.
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Paso 1h² = 6,5² − 2,5² = 42,25 − 6,25 = 36
Paso 2h = √36 = **6 m**
Ejercicio 6Avanzado
Un rombo tiene diagonales de 10 cm y 24 cm. Calcula el perímetro del rombo.
💡 Pista: Las diagonales del rombo se cortan perpendicularmente en su punto medio. Cada lado es la hipotenusa de un triángulo con catetos la mitad de cada diagonal.
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Paso 1Mitades de las diagonales: 10/2 = 5 cm y 24/2 = 12 cm
Paso 2Cada lado del rombo: l² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
Paso 3l = √169 = 13 cm
Paso 4Perímetro = 4 × 13 = **52 cm**
⚠️ La terna (5, 12, 13) aparece de nuevo.
Ejercicio 7Avanzado
Un barco navega 15 km al este y luego 20 km al norte. ¿A qué distancia en línea recta está del punto de partida?
💡 Pista: Los desplazamientos son perpendiculares (este y norte forman 90°).
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Paso 1Los trayectos forman un ángulo recto → triángulo rectángulo
Paso 2d² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625
Paso 3d = √625 = **25 km**
⚠️ Terna (15, 20, 25) = 5 × (3, 4, 5).
Tema 10 — Transformaciones geométricas
Las transformaciones geométricas son movimientos que cambian la posición de una figura sin alterar su forma ni tamaño (isometrías). Las principales son: traslación (desplazar según un vector), simetría axial (reflejar respecto a un eje), simetría central (reflejar respecto a un punto) y giro (rotar respecto a un centro con un ángulo dado).
Conceptos clave:
Traslación: mueve todos los puntos la misma distancia y dirección, definida por un vector (a, b)
Simetría axial: reflejo respecto a una recta (eje). Los puntos quedan a la misma distancia del eje pero en el lado opuesto
Simetría central: reflejo respecto a un punto O. Cada punto P se transforma en P’ tal que O es el punto medio de PP’
Giro: rotación de un ángulo α alrededor de un centro. Positivo = sentido antihorario
Composición: aplicar una transformación seguida de otra. Dos simetrías axiales con ejes paralelos equivalen a una traslación
0/7 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
El punto A(3, 5) se traslada con el vector (−4, 2). ¿Cuáles son las coordenadas de A'?
💡 Pista: Suma cada componente del vector a las coordenadas del punto.
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Paso 1x' = 3 + (−4) = −1
Paso 2y' = 5 + 2 = 7
Paso 3A' = **(−1, 7)**
Ejercicio 2Básico
Halla el simétrico del punto B(4, −3) respecto al eje X.
💡 Pista: Al reflejar respecto al eje X, la coordenada x no cambia y la y cambia de signo.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Simetría respecto al eje X: (x, y) → (x, −y)
Paso 2B(4, −3) → B' = **(4, 3)**
Ejercicio 3Intermedio
Halla el simétrico de C(2, −5) respecto al punto O(1, 1).
💡 Pista: En simetría central, O es el punto medio de C y C'. Usa: x' = 2×Ox − Cx.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1x' = 2 × 1 − 2 = 0
Paso 2y' = 2 × 1 − (−5) = 2 + 5 = 7
Paso 3C' = **(0, 7)**
⚠️ Comprobación: punto medio de C(2,−5) y C'(0,7) = ((2+0)/2, (−5+7)/2) = (1, 1) = O ✓
Ejercicio 4Intermedio
El punto D(5, 0) se gira 90° en sentido antihorario alrededor del origen. ¿Cuáles son las coordenadas de D'?
Un triángulo tiene vértices P(1, 2), Q(4, 2) y R(1, 6). Describe su simétrico respecto al eje Y.
💡 Pista: Simetría respecto al eje Y: (x, y) → (−x, y).
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Regla eje Y: (x, y) → (−x, y)
Paso 2P(1, 2) → P'(−1, 2)
Paso 3Q(4, 2) → Q'(−4, 2)
Paso 4R(1, 6) → R'(−1, 6)
Paso 5Vértices del simétrico: **P'(−1, 2), Q'(−4, 2), R'(−1, 6)**
⚠️ La forma y el tamaño no cambian, solo la orientación (se invierte como en un espejo).
Ejercicio 6Avanzado
El punto E(3, 1) se gira 180° alrededor del origen. ¿Cuáles son las coordenadas de E'?
💡 Pista: Un giro de 180° equivale a una simetría central respecto al origen: (x, y) → (−x, −y).
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Giro 180°: (x, y) → (−x, −y)
Paso 2E(3, 1) → E' = **(−3, −1)**
⚠️ Un giro de 180° respecto al origen es lo mismo que una simetría central respecto al origen.
Ejercicio 7Avanzado
Un cuadrado ABCD tiene vértices A(0,0), B(4,0), C(4,4), D(0,4). Se traslada con vector (3,−2) y después se refleja respecto al eje X. Halla las coordenadas finales de A.
💡 Pista: Aplica primero la traslación y luego la simetría.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Traslación de A(0,0) con vector (3,−2): A₁ = (0+3, 0+(−2)) = (3, −2)
Paso 2Simetría respecto al eje X: (x, y) → (x, −y)
Paso 3A₁(3, −2) → A' = (3, −(−2)) = **(3, 2)**
⚠️ El orden de las transformaciones importa: si se aplican en orden inverso el resultado cambia.
Tema 11 — Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos
Los cuerpos geométricos tienen tres dimensiones. Los principales son: prismas (bases paralelas iguales), pirámides (una base y caras triangulares), cilindros, conos y esferas. Para cada uno existen fórmulas de área lateral, área total y volumen.
Conceptos clave:
Prisma: V = Área_base × h. Área total = 2 × Área_base + Área_lateral
Pirámide: V = (1/3) × Área_base × h
Cilindro: V = π × r² × h. Área lateral = 2πrh. Área total = 2πrh + 2πr²
Cono: V = (1/3) × π × r² × h. Área lateral = πrg (g = generatriz)
Esfera: V = (4/3) × π × r³. Área = 4πr²
0/7 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Calcula el volumen de un cilindro de radio 3 cm y altura 10 cm. Usa π ≈ 3,14. (en cm³)
💡 Pista: V = π × r² × h.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1V = π × r² × h = 3,14 × 3² × 10
Paso 2V = 3,14 × 9 × 10
Paso 3V = 3,14 × 90 = **282,6 cm³**
Ejercicio 2Básico
Calcula el área total de un cubo de lado 7 cm. (en cm²)
💡 Pista: Un cubo tiene 6 caras cuadradas iguales.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Área de una cara: 7² = 49 cm²
Paso 2Área total: 6 × 49 = **294 cm²**
Ejercicio 3Intermedio
Calcula el volumen de una pirámide de base cuadrada de lado 6 cm y altura 8 cm. (en cm³)
💡 Pista: V = (1/3) × Área_base × h. La base es un cuadrado de 6 × 6.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Área de la base: 6 × 6 = 36 cm²
Paso 2V = (1/3) × 36 × 8
Paso 3V = (1/3) × 288 = **96 cm³**
⚠️ El volumen de una pirámide es exactamente un tercio del prisma con la misma base y altura.
Ejercicio 4Intermedio
Calcula el área lateral de un cilindro de radio 3 cm y altura 10 cm. Usa π ≈ 3,14. (en cm²)
💡 Pista: Área lateral = 2πrh. Si lo «desenrollas», obtienes un rectángulo.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Área lateral = 2 × π × r × h
Paso 2= 2 × 3,14 × 3 × 10
Paso 3= 2 × 3,14 × 30
Paso 4= **188,4 cm²**
⚠️ El rectángulo desenrollado mide 2πr de largo (la circunferencia de la base) por h de alto.
Ejercicio 5Intermedio
Calcula el volumen de una esfera de radio 6 cm. Usa π ≈ 3,14. Redondea al entero. (en cm³)
💡 Pista: V = (4/3) × π × r³.
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Paso 1V = (4/3) × π × r³ = (4/3) × 3,14 × 6³
Paso 26³ = 216
Paso 3(4/3) × 3,14 = 4,1867...
Paso 4V = 4,1867 × 216 = 904,32...
Paso 5Redondeando: **905 cm³**
Ejercicio 6Avanzado
Un cono tiene radio 3 cm y altura 10 cm. Calcula su generatriz y su volumen. Usa π ≈ 3,14. Redondea el volumen al entero. (en cm³)
💡 Pista: La generatriz se calcula con Pitágoras: g² = r² + h². El volumen: V = (1/3)πr²h.
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Paso 1Generatriz: g² = 3² + 10² = 9 + 100 = 109
Paso 2g = √109 ≈ **10,44 cm**
Paso 3Volumen: V = (1/3) × 3,14 × 3² × 10
Paso 4V = (1/3) × 3,14 × 9 × 10
Paso 5V = (1/3) × 282,6 = **94 cm³**
⚠️ El cono tiene un tercio del volumen del cilindro con la misma base y altura (282,6 / 3 ≈ 94).
Ejercicio 7Avanzado
Un acuario cilíndrico tiene radio 15 cm y altura 40 cm. ¿Cuántos litros de agua caben? Usa π ≈ 3,14. Redondea a una decimal.
💡 Pista: Calcula el volumen en cm³ y luego divide entre 1000 para obtener litros.
Las funciones asocian a cada valor de x un valor de y. La función lineal y = mx + n genera una recta con pendiente m. En estadística se analizan datos con medidas de centralización (media, mediana, moda) y dispersión (rango, varianza, desviación típica). La probabilidad mide la frecuencia esperada de un suceso: P = casos favorables / casos posibles.
Conceptos clave:
Función lineal: y = mx + n, donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen
Media aritmética: suma de todos los datos dividida entre el número de datos
Mediana: valor central al ordenar los datos. Si hay número par de datos, media de los dos centrales
Moda: dato que más se repite
Probabilidad: P(A) = nº casos favorables / nº casos posibles. Siempre entre 0 y 1
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Ejercicio 1Básico
Dada la función y = 4x − 3, calcula y cuando x = 5.
💡 Pista: Sustituye x por 5.
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Paso 1y = 4(5) − 3 = 20 − 3 = **17**
Ejercicio 2Básico
En la función y = 4x − 3, ¿cuál es la pendiente y la ordenada en el origen?
💡 Pista: En y = mx + n, m es la pendiente y n es la ordenada en el origen.
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Paso 1Comparamos con y = mx + n:
Paso 2m = **4** (pendiente)
Paso 3n = **−3** (ordenada en el origen, punto donde la recta corta el eje Y)
⚠️ La recta corta al eje Y en el punto (0, −3) y al eje X cuando y = 0: 4x − 3 = 0 → x = 3/4.
Ejercicio 3Intermedio
Calcula la media, mediana y moda de los datos: 3, 7, 5, 3, 9, 11, 3, 8, 5.
💡 Pista: Para la mediana, ordena primero los datos.
Paso 2Con punto (2, 5): 5 = 3(2) + n → 5 = 6 + n → n = −1
Paso 3Ecuación: **y = 3x − 1**
⚠️ Comprobación con (6, 17): y = 3(6) − 1 = 17. ✓
Ejercicio 7Avanzado
En una bolsa hay 5 bolas rojas, 3 verdes y 2 amarillas. Se saca una bola al azar, se anota el color y se devuelve. Luego se saca otra. ¿Cuál es la probabilidad de sacar roja y luego verde?
💡 Pista: Como se devuelve la bola (con reemplazamiento), los sucesos son independientes. Multiplica las probabilidades.
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Paso 1Total de bolas: 5 + 3 + 2 = 10
Paso 2P(roja) = 5/10 = 1/2
Paso 3P(verde) = 3/10
Paso 4Son independientes (hay reemplazamiento)
Paso 5P(roja y luego verde) = 1/2 × 3/10 = **3/20**
⚠️ 3/20 = 0,15 = 15%.
Cómo usar este solucionario para aprobar
La técnica del bolígrafo rojo es la más efectiva: haz tus ejercicios en azul, intenta resolver cada problema del módulo interactivo, y cuando veas la solución, anota en rojo dónde fallaste. Ese proceso de identificar exactamente tu error es lo que evita que lo repitas en el examen real.
Los ejercicios resueltos están ordenados de menor a mayor dificultad dentro de cada tema. Si un tema se te resiste, empieza por los básicos (verdes) y avanza hacia los avanzados (rojos) cuando domines los primeros.
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