Solucionario completo del libro de Matemáticas 2 ESO SM Savia, la serie más utilizada del grupo SM en secundaria. Encontrarás los 84 ejercicios resueltos paso a paso, organizados por los 14 temas del curso: desde números enteros y fracciones hasta estadística y probabilidad, pasando por ecuaciones, sistemas, geometría y funciones. Cada ejercicio incluye pistas y notas para que puedas repasar de forma autónoma y preparar los exámenes con confianza.
En este solucionario de Matemáticas 2 ESO SM Savia encontrarás ejercicios interactivos con autocorrección instantánea, resúmenes de teoría por tema y soluciones paso a paso con explicación detallada. Cada ejercicio incluye autoevaluación con pistas progresivas y una barra de progreso para que controles cuánto llevas de cada tema. Todo el contenido está adaptado al currículo oficial de 2º ESO.
👆 Haz click en un tema del índice de arriba para ver los ejercicios resueltos, la teoría resumida y la autoevaluación interactiva.
Tema 1 — Números enteros
Los números enteros (ℤ) amplían los naturales incluyendo el cero y los negativos. En este tema de SM Savia repasamos las operaciones combinadas (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con signos), la jerarquía de operaciones y los criterios de divisibilidad (MCD y mcm) necesarios para trabajar con fracciones.
Conceptos clave:
Valor absoluto: |−11| = 11 — es la distancia al cero, siempre positiva
Regla de signos en la suma: signos iguales se suman y se conserva el signo; signos distintos se restan y se toma el del mayor
Regla de signos en el producto: (+)(+) = +, (−)(−) = +, (+)(−) = −, (−)(+) = −
⚠️ (−2)³ = −8 porque el exponente es impar. No confundir con (−2)² = +4.
Tema 2 — Fracciones
Las fracciones representan partes de un todo. En 2º ESO se trabajan las operaciones con fracciones (suma, resta, multiplicación y división), la simplificación y la fracción de una cantidad. Para sumar o restar fracciones con distinto denominador hay que calcular el mcm de los denominadores.
Conceptos clave:
Fracción irreducible: cuando numerador y denominador no tienen más divisor común que 1
Suma/resta: se necesita denominador común (mcm de los denominadores)
Multiplicación: se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí
División: se multiplica la primera por la inversa de la segunda
Fracción de una cantidad: (numerador ÷ denominador) × cantidad
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Calcula: 7/12 + 5/6
💡 Pista: Busca el denominador común de 12 y 6: mcm(12, 6) = 12.
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Paso 1mcm(12, 6) = 12
Paso 27/12 ya tiene denominador 12
Paso 35/6 = 10/12
Paso 47/12 + 10/12 = **17/12**
⚠️ 17/12 es una fracción impropia. En forma mixta sería 1 y 5/12.
Ejercicio 2Básico
Calcula: 3/8 ÷ 9/4
💡 Pista: Dividir fracciones: multiplica la primera por la inversa de la segunda.
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Paso 1Invertimos la segunda fracción: 9/4 → 4/9
Paso 2Multiplicamos: 3/8 × 4/9 = 12/72
Paso 3Simplificamos: 12/72 = **1/6**
⚠️ Para simplificar: MCD(12, 72) = 12.
Ejercicio 3Intermedio
Calcula 3/5 de 85.
💡 Pista: Divide 85 entre 5 y luego multiplica por 3.
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Paso 185 ÷ 5 = 17
Paso 217 × 3 = **51**
Ejercicio 4Intermedio
Calcula: 5/9 − 1/6 + 2/3
💡 Pista: mcm(9, 6, 3) = 18. Pasa todas las fracciones a denominador 18.
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Paso 1mcm(9, 6, 3) = 18
Paso 25/9 = 10/18
Paso 31/6 = 3/18
Paso 42/3 = 12/18
Paso 510/18 − 3/18 + 12/18 = **19/18**
Ejercicio 5Avanzado
Calcula: (4/7 + 1/3) × 21/10
💡 Pista: Primero resuelve el paréntesis con denominador común 21.
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Paso 1mcm(7, 3) = 21
Paso 24/7 = 12/21 y 1/3 = 7/21
Paso 3Paréntesis: 12/21 + 7/21 = 19/21
Paso 4Multiplicamos: 19/21 × 21/10 = 399/210
Paso 5Simplificamos: 399/210 = **19/10**
⚠️ Truco: el 21 se cancela directamente: (19/21) × (21/10) = 19/10.
Ejercicio 6Avanzado
Un depósito se llena 3/8 por la mañana y 1/4 por la tarde. ¿Qué fracción queda por llenar?
💡 Pista: Suma las fracciones llenas y resta del total (1).
Los números decimales son otra forma de representar fracciones. En este tema se trabajan las operaciones con decimales, la conversión de decimal a fracción y viceversa, y los tipos de decimales: exactos, periódicos puros y periódicos mixtos.
Conceptos clave:
Decimal exacto: tiene un número finito de cifras decimales (ej.: 3,75)
Decimal periódico puro: las cifras se repiten desde el principio (ej.: 0,333… = 0,3̄)
Decimal periódico mixto: tiene una parte no periódica y luego se repite (ej.: 2,1666… = 2,16̄)
Fracción generatriz: la fracción que genera un decimal; se obtiene con reglas distintas según el tipo
Redondeo: si la cifra siguiente es ≥ 5, se sube; si es < 5, se deja
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Expresa 3,75 como fracción irreducible.
💡 Pista: 3,75 = 375/100. Simplifica dividiendo numerador y denominador por su MCD.
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Paso 13,75 = 375/100
Paso 2MCD(375, 100) = 25
Paso 3375 ÷ 25 = 15 y 100 ÷ 25 = 4
Paso 4Fracción irreducible: **15/4**
Ejercicio 2Básico
Expresa 0,333… (0,3 periódico) como fracción.
💡 Pista: Para un periódico puro: el periodo va al numerador y tantos nueves como cifras tenga el periodo al denominador.
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Paso 1Sea x = 0,333…
Paso 210x = 3,333…
Paso 310x − x = 3,333… − 0,333… = 3
Paso 49x = 3 → x = 3/9 = **1/3**
⚠️ Regla rápida para periódicos puros: periodo/tantos 9 como cifras del periodo.
Ejercicio 3Intermedio
Expresa 2,1666… (2,16̄) como fracción irreducible.
💡 Pista: Es un periódico mixto: multiplica por 10 y por 100 para eliminar el periodo.
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Paso 1Sea x = 2,1666…
Paso 210x = 21,666…
Paso 3100x = 216,666…
Paso 4100x − 10x = 216,666… − 21,666… = 195
Paso 590x = 195 → x = 195/90
Paso 6MCD(195, 90) = 15 → 195/90 = **13/6**
⚠️ Para periódicos mixtos: (todo sin coma − parte no periódica sin coma) / (tantos 9 como cifras del periodo seguidos de tantos 0 como cifras no periódicas).
Ejercicio 4Intermedio
Calcula: 4,32 − 1,875 + 0,55
💡 Pista: Alinea los decimales por la coma y opera de izquierda a derecha.
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Paso 14,320 − 1,875 = 2,445
Paso 22,445 + 0,550 = **2,995**
⚠️ Puedes añadir ceros a la derecha para igualar cifras decimales.
Ejercicio 5Avanzado
Ordena de menor a mayor: 11/4, 2,8, 2,72̄ (2,7222…)
💡 Pista: Convierte todo a decimales y compara cifra a cifra.
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Paso 111/4 = 2,75
Paso 22,72̄ = 2,7222…
Paso 32,8 = 2,800…
Paso 4Comparamos: 2,7222… < 2,75 < 2,8
Paso 5Orden: **2,72̄ < 11/4 < 2,8**
⚠️ Al comparar decimales, se mira cifra a cifra empezando por la izquierda.
Ejercicio 6Avanzado
Expresa 0,454545… (0,45 periódico puro) como fracción irreducible.
💡 Pista: Periódico puro de dos cifras: numerador = periodo, denominador = 99.
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Paso 1Sea x = 0,454545…
Paso 2100x = 45,454545…
Paso 3100x − x = 45
Paso 499x = 45 → x = 45/99
Paso 5MCD(45, 99) = 9 → 45/99 = **5/11**
Tema 4 — Potencias y raíces
Las potencias son multiplicaciones repetidas de un mismo factor. En 2º ESO se amplían con exponentes enteros (incluidos negativos y cero) y se introducen las propiedades de las potencias y la notación científica. Las raíces cuadradas son la operación inversa de elevar al cuadrado.
Conceptos clave:
Potencia: aⁿ = a × a × … × a (n veces)
Exponente negativo: a⁻ⁿ = 1/aⁿ
Exponente cero: a⁰ = 1 (con a ≠ 0)
Producto de potencias (misma base): aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Cociente de potencias (misma base): aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Potencia de potencia: (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ
Notación científica: a × 10ⁿ con 1 ≤ a < 10
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Calcula: 2⁶
💡 Pista: Multiplica 2 por sí mismo 6 veces.
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Paso 12⁶ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Paso 2= 4 × 4 × 4
Paso 3= 16 × 4 = **64**
Ejercicio 2Básico
Calcula: (−3)⁴
💡 Pista: Base negativa con exponente par: el resultado es positivo.
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Paso 1(−3)⁴ = (−3) × (−3) × (−3) × (−3)
Paso 2= 9 × 9
Paso 3= **81**
⚠️ Exponente par → resultado positivo. Si fuera (−3)³ = −27 (impar → negativo).
Ejercicio 3Intermedio
Simplifica y calcula: 5³ × 5² ÷ 5⁴
💡 Pista: Suma los exponentes en el producto y resta los del cociente: 3 + 2 − 4.
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Paso 15³ × 5² = 5³⁺² = 5⁵
Paso 25⁵ ÷ 5⁴ = 5⁵⁻⁴ = 5¹ = **5**
Ejercicio 4Intermedio
Expresa 71 000 en notación científica.
💡 Pista: Mueve la coma hasta que el número tenga una sola cifra entera (entre 1 y 10).
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Paso 171 000 = 7,1 × 10 000
Paso 210 000 = 10⁴
Paso 371 000 = **7,1 × 10⁴**
⚠️ La coma se movió 4 posiciones a la izquierda.
Ejercicio 5Avanzado
Simplifica: (2³)² × 2⁻⁴
💡 Pista: Potencia de potencia: multiplica exponentes. Luego suma los exponentes.
La proporcionalidad relaciona magnitudes que crecen o decrecen de forma regular. En proporcionalidad directa, si una magnitud se duplica, la otra también. En proporcionalidad inversa, si una se duplica, la otra se reduce a la mitad. Los porcentajes son un caso particular de proporcionalidad directa con base 100.
Conceptos clave:
Razón: cociente entre dos cantidades relacionadas. Si a/b = c/d, forman una proporción
Proporcionalidad directa: a más cantidad, más resultado (regla de tres directa)
Proporcionalidad inversa: a más cantidad, menos resultado (regla de tres inversa)
Porcentaje: n% de x = (n/100) × x
Aumentos y descuentos: precio final = precio × (1 ± porcentaje/100)
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Dos magnitudes están en proporción 4:7. Si la primera vale 20, ¿cuánto vale la segunda?
💡 Pista: 4:7 significa que por cada 4 unidades de la primera hay 7 de la segunda. Plantea una regla de tres.
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Paso 14/7 = 20/x
Paso 2x = 20 × 7 ÷ 4
Paso 3x = 140 ÷ 4 = **35**
Ejercicio 2Básico
Calcula el 25% de descuento sobre un precio de 180 €. ¿Cuál es el precio final?
💡 Pista: 25% de 180 es la cantidad descontada. Réstala al precio original.
Un producto de 250 € sube un 12%. ¿Cuál es el nuevo precio?
💡 Pista: Multiplica el precio por (1 + 12/100).
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Paso 112% de 250 = (12/100) × 250 = 30 €
Paso 2Precio nuevo: 250 + 30 = **280 €**
⚠️ Atajo: 250 × 1,12 = 280 €.
Ejercicio 4Intermedio
Si 7 albañiles terminan una obra en 18 días, ¿cuántos días tardarán 9 albañiles?
💡 Pista: Más albañiles → menos días: proporcionalidad inversa.
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Paso 1Proporcionalidad inversa: 7 × 18 = 9 × x
Paso 2126 = 9x
Paso 3x = 126 ÷ 9 = **14 días**
Ejercicio 5Avanzado
Un artículo costaba 90 € y ahora cuesta 108 €. ¿Qué porcentaje ha aumentado?
💡 Pista: Aumento = precio nuevo − precio antiguo. El porcentaje se calcula sobre el precio antiguo.
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Paso 1Aumento: 108 − 90 = 18 €
Paso 2Porcentaje: (18/90) × 100 = **20%**
Ejercicio 6Avanzado
Si 3 grifos llenan una piscina en 8 horas, ¿cuánto tardarán 6 grifos?
💡 Pista: Más grifos → menos tiempo: proporcionalidad inversa.
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Paso 1Proporcionalidad inversa: 3 × 8 = 6 × x
Paso 224 = 6x
Paso 3x = 24 ÷ 6 = **4 horas**
⚠️ Al duplicar los grifos, el tiempo se reduce a la mitad.
Tema 6 — Álgebra
El álgebra introduce las letras para representar cantidades desconocidas. En 2º ESO se trabajan los monomios (expresiones con una sola parte), los polinomios (suma de monomios) y sus operaciones: suma, resta, multiplicación y productos notables.
Conceptos clave:
Monomio: producto de un coeficiente por variables con exponentes naturales (ej.: 5x³)
Monomios semejantes: misma parte literal (mismo grado y variables)
Polinomio: suma algebraica de monomios
Valor numérico: resultado de sustituir las letras por números
💡 Pista: Busca el MCD de los coeficientes y la menor potencia de x.
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Paso 1MCD(10, 15) = 5
Paso 2Menor potencia de x: x²
Paso 3Factor común: 5x²
Paso 410x³ ÷ 5x² = 2x ; −15x² ÷ 5x² = −3
Paso 5Resultado: **5x²(2x − 3)**
Ejercicio 5Avanzado
Desarrolla: (2x + 7)²
💡 Pista: Usa (a + b)² = a² + 2ab + b² con a = 2x y b = 7.
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Paso 1a = 2x, b = 7
Paso 2a² = (2x)² = 4x²
Paso 32ab = 2 × 2x × 7 = 28x
Paso 4b² = 7² = 49
Paso 5Resultado: **4x² + 28x + 49**
Ejercicio 6Avanzado
Desarrolla: (5x − 3)(5x + 3)
💡 Pista: Es una suma por diferencia: (a − b)(a + b) = a² − b².
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Paso 1Producto notable: (a − b)(a + b) = a² − b²
Paso 2a = 5x, b = 3
Paso 3a² = 25x²
Paso 4b² = 9
Paso 5Resultado: **25x² − 9**
⚠️ Esta identidad es muy útil para factorizar diferencias de cuadrados.
Tema 7 — Ecuaciones de primer grado
Una ecuación de primer grado es una igualdad con una incógnita elevada a exponente 1. Resolverla consiste en despejar la incógnita aplicando las operaciones inversas. En 2º ESO se trabajan ecuaciones con paréntesis, denominadores y problemas de planteo.
Conceptos clave:
Ecuación: igualdad que se cumple solo para ciertos valores de la incógnita
Solución: valor que hace verdadera la igualdad
Trasposición: lo que está sumando pasa restando (y viceversa); lo que multiplica pasa dividiendo
Ecuación con paréntesis: se eliminan primero aplicando la propiedad distributiva
Ecuación con denominadores: se multiplica toda la ecuación por el mcm de los denominadores
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Resuelve: 7x + 3 = 4x − 9
💡 Pista: Pasa los términos con x a un lado y los números al otro.
Una ecuación de segundo grado tiene la forma ax² + bx + c = 0 (con a ≠ 0). Puede tener dos soluciones, una solución doble o ninguna solución real según el valor del discriminante Δ = b² − 4ac. Se resuelven por fórmula general, factorización o ecuaciones incompletas.
Conceptos clave:
Forma general: ax² + bx + c = 0
Fórmula general: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
Discriminante: Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0 → 2 soluciones; Δ = 0 → 1 solución doble; Δ < 0 → sin solución real
Incompleta sin c: ax² + bx = 0 → x(ax + b) = 0 → x = 0 o x = −b/a
Incompleta sin b: ax² + c = 0 → x² = −c/a → x = ±√(−c/a)
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Resuelve: x² − 9 = 0
💡 Pista: Ecuación incompleta (sin b): despeja x² y haz la raíz cuadrada.
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Paso 1x² = 9
Paso 2x = ±√9
Paso 3**x = 3 y x = −3**
⚠️ Siempre hay dos soluciones en ecuaciones tipo x² = k (con k > 0).
Ejercicio 2Básico
Resuelve: 3x² − 12 = 0
💡 Pista: Despeja x² dividiendo por 3.
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Paso 13x² = 12
Paso 2x² = 4
Paso 3x = ±√4
Paso 4**x = 2 y x = −2**
Ejercicio 3Intermedio
Resuelve: x² + 3x − 10 = 0
💡 Pista: Usa la fórmula general con a = 1, b = 3, c = −10.
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Paso 1a = 1, b = 3, c = −10
Paso 2Δ = 3² − 4(1)(−10) = 9 + 40 = 49
Paso 3√49 = 7
Paso 4x = (−3 ± 7) / 2
Paso 5x₁ = (−3 + 7)/2 = 4/2 = 2
Paso 6x₂ = (−3 − 7)/2 = −10/2 = −5
Paso 7**x = 2 y x = −5**
⚠️ También se puede factorizar: (x − 2)(x + 5) = 0.
Ejercicio 4Intermedio
Resuelve: 2x² − 5x = 0
💡 Pista: Saca factor común x: x(2x − 5) = 0.
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Paso 1x(2x − 5) = 0
Paso 2x = 0 o 2x − 5 = 0
Paso 32x = 5 → x = 5/2
Paso 4**x = 0 y x = 5/2**
⚠️ En ecuaciones sin término independiente, x = 0 siempre es solución.
Ejercicio 5Avanzado
Resuelve: 2x² + 7x − 15 = 0
💡 Pista: Fórmula general con a = 2, b = 7, c = −15.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1a = 2, b = 7, c = −15
Paso 2Δ = 49 − 4(2)(−15) = 49 + 120 = 169
Paso 3√169 = 13
Paso 4x = (−7 ± 13) / 4
Paso 5x₁ = (−7 + 13)/4 = 6/4 = 3/2
Paso 6x₂ = (−7 − 13)/4 = −20/4 = −5
Paso 7**x = 3/2 y x = −5**
Ejercicio 6Avanzado
El producto de dos números consecutivos es 132. Encuentra ambos números.
💡 Pista: Si el menor es x, el siguiente es x + 1. Plantea x(x + 1) = 132.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1x(x + 1) = 132
Paso 2x² + x − 132 = 0
Paso 3Δ = 1 + 528 = 529 ; √529 = 23
Paso 4x = (−1 ± 23)/2
Paso 5x₁ = 22/2 = 11 → números: 11 y 12
Paso 6x₂ = −24/2 = −12 → números: −12 y −11
Paso 7**Los números son 11 y 12 (o −12 y −11)**
⚠️ Ambas soluciones son válidas matemáticamente. En contexto real, se suelen tomar los positivos.
Tema 9 — Sistemas de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos (o más) ecuaciones con dos incógnitas que deben cumplirse simultáneamente. Los métodos principales son: sustitución (despejar una variable y reemplazar), reducción/eliminación (sumar o restar ecuaciones para eliminar una variable) e igualación.
Conceptos clave:
Sistema compatible determinado: tiene una única solución (las rectas se cortan en un punto)
Método de sustitución: despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra
Método de reducción: multiplicar ecuaciones para que una incógnita tenga coeficientes opuestos y se cancele al sumar
Solución: par (x, y) que satisface ambas ecuaciones
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Resuelve por sustitución: 3x + y = 11 , x − 2y = 0. Escribe x.
💡 Pista: De la segunda ecuación: x = 2y. Sustituye en la primera.
El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo se cumple: hipotenusa² = cateto₁² + cateto₂² (c² = a² + b²). Permite calcular un lado conociendo los otros dos y determinar si un triángulo es rectángulo.
Conceptos clave:
Hipotenusa: lado mayor del triángulo rectángulo, opuesto al ángulo recto
Catetos: los dos lados que forman el ángulo recto
Fórmula: c² = a² + b² ; si se busca un cateto: a² = c² − b²
Ternas pitagóricas: conjuntos de tres enteros que cumplen el teorema (3,4,5 ; 5,12,13 ; 7,24,25 ; 8,15,17 ; 9,40,41)
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Un triángulo rectángulo tiene catetos de 7 cm y 24 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
💡 Pista: Aplica c² = 7² + 24² y haz la raíz cuadrada.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1c² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625
Paso 2c = √625 = **25 cm**
⚠️ 7, 24, 25 es una terna pitagórica clásica.
Ejercicio 2Básico
¿Es rectángulo un triángulo con lados 9, 40 y 41 cm? Escribe si o no.
💡 Pista: Comprueba si 41² = 9² + 40².
📝 Ver solución paso a paso
Paso 141² = 1681
Paso 29² + 40² = 81 + 1600 = 1681
Paso 31681 = 1681 → **Sí, es rectángulo**
⚠️ 9, 40, 41 es otra terna pitagórica.
Ejercicio 3Intermedio
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 15 cm y un cateto mide 9 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto?
💡 Pista: Usa: cateto² = hipotenusa² − otro cateto².
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1b² = 15² − 9² = 225 − 81 = 144
Paso 2b = √144 = **12 cm**
⚠️ 9, 12, 15 es un múltiplo de la terna 3, 4, 5 (×3).
Ejercicio 4Intermedio
Un poste de 13 m se sujeta con un cable desde su parte superior hasta un punto del suelo a 5 m de la base. ¿Cuánto mide el cable?
💡 Pista: El poste es un cateto (13 m), la distancia al suelo es el otro cateto (5 m). El cable es la hipotenusa.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1cable² = 13² + 5² = 169 + 25 = 194
Paso 2cable = √194 ≈ **13,93 m**
⚠️ √194 es irracional. En un examen, basta con dejarlo como √194 m.
Ejercicio 5Avanzado
Un rectángulo mide 9 cm × 40 cm. ¿Cuánto mide su diagonal?
💡 Pista: La diagonal divide el rectángulo en dos triángulos rectángulos.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1d² = 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681
Paso 2d = √1681 = **41 cm**
Ejercicio 6Avanzado
Una escalera de 10 m se apoya en una pared. Su base está a 6 m de la pared. ¿A qué altura llega?
💡 Pista: La escalera es la hipotenusa (10 m), la distancia a la pared es un cateto (6 m). Busca el otro cateto.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1h² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64
Paso 2h = √64 = **8 m**
⚠️ 6, 8, 10 es un múltiplo de la terna 3, 4, 5 (×2).
Tema 11 — Figuras semejantes
Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma aunque distinto tamaño: sus ángulos son iguales y sus lados son proporcionales. La razón de semejanza es el cociente entre lados correspondientes. Las escalas de mapas y planos son un caso particular de semejanza.
Conceptos clave:
Razón de semejanza (k): cociente entre lados homólogos de dos figuras semejantes
Teorema de Thales: rectas paralelas cortadas por secantes determinan segmentos proporcionales
Relación de áreas: si k es la razón de semejanza, el área se multiplica por k²
Escala: razón entre la medida en el plano y la medida real
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
En un mapa a escala 1:50 000, dos pueblos están a 6 cm. ¿Cuántos km hay entre ellos en la realidad?
💡 Pista: Multiplica la distancia en el mapa por el factor de escala.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 16 cm × 50 000 = 300 000 cm
Paso 2300 000 cm = 3 000 m = **3 km**
Ejercicio 2Básico
Dos triángulos semejantes tienen razón de semejanza 3:5. Si el lado menor del pequeño mide 6 cm, ¿cuánto mide el correspondiente del grande?
💡 Pista: 3/5 = 6/x → despeja x.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 13/5 = 6/x
Paso 2x = 6 × 5 / 3 = 30/3 = **10 cm**
Ejercicio 3Intermedio
Si la razón de semejanza entre dos figuras es 4, ¿cuántas veces mayor es el área de la grande respecto a la pequeña?
💡 Pista: El área se multiplica por el cuadrado de la razón de semejanza.
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Paso 1Razón de áreas = k² = 4² = **16 veces**
⚠️ Si k = 4, los lados son 4 veces mayores pero el área es 16 veces mayor.
Ejercicio 4Intermedio
Dos triángulos semejantes tienen lados 5, 8 y 10 cm (el pequeño) y 7,5 cm, x cm y 15 cm (el grande). Halla x.
💡 Pista: Calcula la razón de semejanza con un par de lados conocidos y aplícala al que falta.
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Paso 1Razón: 15/10 = 1,5 (o 7,5/5 = 1,5)
Paso 2x = 8 × 1,5 = **12 cm**
⚠️ Comprobación: 7,5/5 = 1,5 ✓ y 15/10 = 1,5 ✓
Ejercicio 5Avanzado
Un edificio proyecta una sombra de 18 m. Al mismo tiempo, un poste de 2 m proyecta una sombra de 3 m. ¿Cuánto mide el edificio?
💡 Pista: Los triángulos formados por el objeto y su sombra son semejantes (Thales). Plantea la proporción.
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Paso 1Triángulos semejantes: altura/sombra es constante
Paso 22/3 = h/18
Paso 3h = 2 × 18 / 3 = 36/3 = **12 m**
⚠️ Aplicación clásica del teorema de Thales.
Ejercicio 6Avanzado
Una habitación real mide 7,5 m de largo. En un plano a escala 1:150, ¿cuántos cm medirá?
💡 Pista: Divide la medida real por el factor de escala. Convierte a cm.
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Paso 17,5 m = 750 cm
Paso 2750 / 150 = **5 cm**
Tema 12 — Áreas y volúmenes
En 2º ESO se calculan áreas y volúmenes de los principales cuerpos geométricos: prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas. Es fundamental conocer las fórmulas y saber identificar las medidas necesarias en cada caso.
Conceptos clave:
Prisma: V = A_base × h ; A_total = 2 × A_base + A_lateral
Pirámide: V = (1/3) × A_base × h
Cilindro: V = π × r² × h ; A_total = 2πr² + 2πrh
Cono: V = (1/3) × π × r² × h ; A_lateral = πrg (g = generatriz)
Esfera: V = (4/3) × π × r³ ; A = 4πr²
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Calcula el volumen de un cilindro de radio 5 cm y altura 12 cm. Usa π ≈ 3,14. (en cm³)
💡 Pista: V = π × r² × h.
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Paso 1V = π × 5² × 12
Paso 2V = 3,14 × 25 × 12
Paso 3V = 3,14 × 300 = **942 cm³**
Ejercicio 2Básico
Calcula el volumen de un prisma rectangular de 7 cm × 4 cm × 9 cm. (en cm³)
💡 Pista: V = largo × ancho × alto.
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Paso 1V = 7 × 4 × 9 = **252 cm³**
Ejercicio 3Intermedio
Calcula el volumen de una pirámide de base cuadrada de lado 7 cm y altura 12 cm. (en cm³)
💡 Pista: V = (1/3) × A_base × h. A_base = lado².
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Paso 1A_base = 7² = 49 cm²
Paso 2V = (1/3) × 49 × 12 = 49 × 4 = **196 cm³**
Ejercicio 4Intermedio
Calcula el volumen de una esfera de radio 6 cm. Usa π ≈ 3,14. Redondea al entero. (en cm³)
Una función es una relación que asocia a cada valor de x un único valor de y. En 2º ESO se estudian las funciones lineales (y = mx + n), su pendiente (m), su ordenada en el origen (n) y su representación gráfica.
Conceptos clave:
Función: f(x) = y — a cada valor de x le corresponde un único valor de y
Función lineal: y = mx + n (recta). m = pendiente, n = ordenada en el origen
Pendiente: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) — indica la inclinación de la recta
Creciente: m > 0 ; Decreciente: m < 0 ; Constante: m = 0
Corte con eje X: hacer y = 0 y despejar x ; Corte con eje Y: hacer x = 0
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Si f(x) = −2x + 5, calcula f(3).
💡 Pista: Sustituye x por 3.
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Paso 1f(3) = −2(3) + 5 = −6 + 5 = **−1**
Ejercicio 2Básico
En la función y = x/3 + 1, ¿cuál es la pendiente y la ordenada en el origen?
💡 Pista: Compara con y = mx + n.
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Paso 1y = (1/3)x + 1
Paso 2Pendiente: m = **1/3**
Paso 3Ordenada en el origen: n = **1**
⚠️ La recta es creciente (m > 0) y corta el eje Y en (0, 1).
Ejercicio 3Intermedio
Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2, −3) y (6, 5).
💡 Pista: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1m = (5 − (−3)) / (6 − 2)
Paso 2m = 8 / 4 = **2**
⚠️ Pendiente positiva → recta creciente.
Ejercicio 4Intermedio
¿En qué punto corta la recta y = −2x + 5 al eje X?
💡 Pista: Haz y = 0 y despeja x.
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Paso 10 = −2x + 5
Paso 22x = 5
Paso 3x = 5/2 = 2,5
Paso 4Corta el eje X en **(5/2, 0)**
Ejercicio 5Avanzado
Halla la ecuación de la recta que pasa por (−1, 4) con pendiente −3. Escribe en forma y = mx + n.
💡 Pista: Usa y − y₁ = m(x − x₁) y simplifica.
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Paso 1y − 4 = −3(x − (−1))
Paso 2y − 4 = −3(x + 1)
Paso 3y − 4 = −3x − 3
Paso 4y = −3x − 3 + 4
Paso 5**y = −3x + 1**
⚠️ Comprobación: para x = −1 → y = −3(−1) + 1 = 3 + 1 = 4 ✓
Ejercicio 6Avanzado
¿Son paralelas las rectas y = 4x − 7 e y = 4x + 2? Justifica.
💡 Pista: Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.
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Paso 1Pendiente de y = 4x − 7: m₁ = 4
Paso 2Pendiente de y = 4x + 2: m₂ = 4
Paso 3m₁ = m₂ = 4 → **son paralelas**
Paso 4No son la misma recta porque tienen distinta ordenada en el origen (−7 ≠ 2)
⚠️ Paralelas = misma pendiente, distinta ordenada. Si todo fuera igual, serían coincidentes.
Tema 14 — Estadística y probabilidad
La estadística estudia datos numéricos: su recogida, organización y análisis. Los parámetros centrales (media, mediana, moda) resumen un conjunto de datos. La probabilidad mide la posibilidad de que ocurra un suceso, desde 0 (imposible) hasta 1 (seguro).
Conceptos clave:
Media aritmética: suma de todos los datos dividida por el número de datos
Mediana: valor central de los datos ordenados (si hay par de datos, media de los dos centrales)
Moda: valor que más se repite
Frecuencia absoluta: número de veces que aparece un dato
Frecuencia relativa: frecuencia absoluta / total de datos
Regla de Laplace: P(A) = casos favorables / casos posibles
0/6 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Calcula la media de: 3, 7, 5, 9, 11, 8, 6, 7.
💡 Pista: Suma todos los valores y divide entre 8 (el número de datos).
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Paso 1Suma: 3 + 7 + 5 + 9 + 11 + 8 + 6 + 7 = 56
Paso 2Número de datos: 8
Paso 3Media: 56/8 = **7**
Ejercicio 2Básico
Halla la mediana de: 3, 7, 5, 9, 11, 8, 6, 7.
💡 Pista: Ordena los datos y busca el valor central. Si hay un número par de datos, haz la media de los dos centrales.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Datos ordenados: 3, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 11
Paso 28 datos → mediana = media de las posiciones 4ª y 5ª
Paso 3Posiciones 4ª y 5ª: 7 y 7
Paso 4Mediana: (7 + 7)/2 = **7**
Ejercicio 3Básico
¿Cuál es la moda de: 3, 7, 5, 9, 11, 8, 6, 7?
💡 Pista: La moda es el valor que más se repite.
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Paso 1El 7 aparece 2 veces; los demás una sola vez
Paso 2Moda = **7**
Ejercicio 4Intermedio
Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número mayor que 4? (como fracción irreducible)
Paso 2Casos favorables (al menos una cara): {CC, CX, XC} → 3
Paso 3P = 3/4 = **3/4**
⚠️ También se puede calcular como P = 1 − P(ninguna cara) = 1 − 1/4 = 3/4.
Ejercicio 6Avanzado
En una bolsa hay 5 bolas rojas, 3 azules y 2 verdes. Se saca una bola al azar, se devuelve, y se saca otra. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean rojas? (como fracción irreducible)
💡 Pista: Como se devuelve la bola, los sucesos son independientes. Multiplica las probabilidades.
⚠️ Si NO se devolviera, la segunda probabilidad sería 4/9 (sin reemplazamiento).
Cómo usar este solucionario para aprobar
La técnica del bolígrafo rojo es la más efectiva: haz tus ejercicios en azul, intenta resolver cada problema del módulo interactivo, y cuando veas la solución, anota en rojo dónde fallaste. Ese proceso de identificar exactamente tu error es lo que evita que lo repitas en el examen real.
Los ejercicios resueltos están ordenados de menor a mayor dificultad dentro de cada tema. Si un tema se te resiste, empieza por los básicos (verdes) y avanza hacia los avanzados (rojos) cuando domines los primeros.
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