Solucionario del libro de Matemáticas 2 ESO Vicens Vives con ejercicios resueltos paso a paso. Vicens Vives destaca por su enfoque riguroso y progresivo en álgebra, geometría y análisis de datos, facilitando la comprensión de cada bloque temático.
En este solucionario de Matemáticas 2 ESO Vicens Vives encontrarás ejercicios interactivos con autocorrección instantánea, resúmenes de teoría por tema y soluciones paso a paso con explicación detallada. Cada ejercicio incluye autoevaluación con pistas progresivas y una barra de progreso para que controles cuánto llevas de cada tema. Todo el contenido está adaptado al currículo oficial de 2º ESO.
👆 Haz click en un tema del índice de arriba para ver los ejercicios resueltos, la teoría resumida y la autoevaluación interactiva.
Tema 1 — Números enteros
Los números enteros amplían los naturales incorporando valores negativos. Las operaciones combinadas exigen respetar la jerarquía: primero paréntesis, luego potencias, después multiplicaciones/divisiones y por último sumas/restas. Dominar la regla de signos es imprescindible para resolver correctamente cualquier expresión.
Conceptos clave:
Números enteros (ℤ): conjunto formado por los negativos, el cero y los positivos
Regla de signos en la suma: signos iguales se suman y se conserva el signo; signos distintos se restan y se toma el del mayor valor absoluto
Regla de signos en el producto: (+)(+) = +, (−)(−) = +, (+)(−) = −, (−)(+) = −
Valor absoluto: distancia de un número al cero, siempre positiva, |−11| = 11
💡 Pista: Dentro del corchete, primero la multiplicación y luego la suma.
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Paso 1Multiplicación dentro del corchete: (−2) × 3 = −6
Paso 2Corchete: −6 + (−6) = −12
Paso 3Multiplicación: 4 × (−12) = −48
Paso 4Resta final: −48 − 8 = **−56**
Ejercicio 5Avanzado
Calcula: (−7) × [3 − (−4)²] + (−1)⁵ × 10
💡 Pista: Primero potencias dentro del corchete: (−4)² = 16. Después resuelve el corchete y opera.
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Paso 1Potencia: (−4)² = 16
Paso 2Corchete: 3 − 16 = −13
Paso 3Multiplicación: (−7) × (−13) = 91
Paso 4Potencia: (−1)⁵ = −1 (impar → negativo)
Paso 5Multiplicación: (−1) × 10 = −10
Paso 6Suma final: 91 + (−10) = 91 − 10 = **81**
⚠️ Recuerda: (−4)² = 16 pero −4² = −16. El paréntesis marca la diferencia.
Tema 2 — Divisibilidad
La divisibilidad estudia la relación entre números a través de múltiplos y divisores. El MCD (máximo común divisor) y el mcm (mínimo común múltiplo) se obtienen descomponiendo en factores primos. Estas herramientas son fundamentales para simplificar fracciones y resolver problemas de reparto.
Conceptos clave:
Número primo: solo es divisible por 1 y por sí mismo (2, 3, 5, 7, 11…)
Descomposición en factores primos: expresar un número como producto de potencias de primos
MCD: producto de los factores primos comunes con el menor exponente
mcm: producto de todos los factores primos con el mayor exponente
Criterios de divisibilidad: reglas rápidas para saber si un número es divisible por 2, 3, 5, 9, 11…
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Ejercicio 1Básico
Descompón 360 en factores primos.
💡 Pista: Divide sucesivamente entre los primos más pequeños: 2, 3, 5…
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Paso 1360 ÷ 2 = 180
Paso 2180 ÷ 2 = 90
Paso 390 ÷ 2 = 45
Paso 445 ÷ 3 = 15
Paso 515 ÷ 3 = 5
Paso 65 ÷ 5 = 1
Paso 7360 = **2³ × 3² × 5**
Ejercicio 2Intermedio
Calcula el MCD de 66 y 90.
💡 Pista: Descompón ambos en primos y toma los factores comunes con menor exponente.
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Paso 166 = 2 × 3 × 11
Paso 290 = 2 × 3² × 5
Paso 3Factores comunes: 2 y 3 (con menor exponente: 2¹ y 3¹)
Paso 4MCD(66, 90) = 2 × 3 = **6**
⚠️ El 11 y el 5 no son comunes, así que no se incluyen en el MCD.
Ejercicio 3Intermedio
Calcula el mcm de 36 y 54.
💡 Pista: Descompón en primos y toma todos los factores con el exponente más alto.
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Paso 136 = 2² × 3²
Paso 254 = 2 × 3³
Paso 3Todos los factores con mayor exponente: 2² × 3³
Paso 4mcm(36, 54) = 4 × 27 = **108**
Ejercicio 4Avanzado
Tres autobuses salen de la misma estación. El primero pasa cada 18 minutos, el segundo cada 24 minutos y el tercero cada 40 minutos. Si coinciden a las 7:00 h, ¿a qué hora volverán a coincidir?
💡 Pista: Calcula el mcm de 18, 24 y 40 para saber cada cuántos minutos coinciden.
⚠️ Esta fórmula funciona para cualquier número: descompón y multiplica los exponentes incrementados en 1.
Tema 3 — Fracciones
Las fracciones representan partes de un todo y son esenciales en todos los campos de las matemáticas. Para sumar o restar fracciones con distinto denominador hay que hallar un denominador común (usando el mcm). Multiplicar y dividir fracciones es más sencillo: se opera en línea y se simplifica.
Conceptos clave:
Fracción equivalente: dos fracciones son equivalentes si representan el mismo valor (a/b = c/d si a×d = b×c)
Simplificación: dividir numerador y denominador por su MCD
Denominador común: para sumar/restar fracciones se usa el mcm de los denominadores
Producto de fracciones: se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí
División de fracciones: se multiplica la primera por la inversa de la segunda
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Ejercicio 1Básico
Calcula: 8/5 + 7/15
💡 Pista: Busca el mcm de 5 y 15 como denominador común.
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Paso 1mcm(5, 15) = 15
Paso 28/5 = 24/15
Paso 324/15 + 7/15 = **31/15**
Ejercicio 2Básico
Calcula: 11/6 × 3/22
💡 Pista: Multiplica numeradores y denominadores, luego simplifica.
Los números decimales son otra forma de expresar fracciones y aparecen constantemente en la vida cotidiana. Es importante saber convertir entre fracciones y decimales, distinguir decimales exactos de periódicos, y operar con ellos correctamente. La fracción generatriz permite expresar cualquier decimal periódico como fracción.
Conceptos clave:
Decimal exacto: tiene un número finito de cifras decimales (0.75 = 3/4)
Decimal periódico puro: las cifras se repiten desde el inicio (0.333… = 1/3)
Decimal periódico mixto: hay cifras que no se repiten antes del periodo (0.1666… = 1/6)
Fracción generatriz: la fracción irreducible que origina un decimal
Orden de decimales: se comparan dígito a dígito de izquierda a derecha
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Ejercicio 1Básico
Convierte 5.375 a fracción.
💡 Pista: 5.375 = 5375/1000. Simplifica dividiendo entre el MCD.
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Paso 15.375 = 5375/1000
Paso 2MCD(5375, 1000) = 125
Paso 35375 ÷ 125 = 43
Paso 41000 ÷ 125 = 8
Paso 5Fracción: **43/8**
Ejercicio 2Intermedio
Halla la fracción generatriz de 0.818181… (0.81 periódico puro).
💡 Pista: Para un periódico puro de 2 cifras, el numerador es el periodo y el denominador es 99.
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Paso 1Periodo = 81, con 2 cifras que se repiten
Paso 2Fracción generatriz de periódico puro: periodo / (tantos nueves como cifras del periodo)
⚠️ Fórmula periódico mixto: numerador = (toda la parte decimal con periodo − parte no periódica) / (nueves según cifras del periodo + ceros según cifras no periódicas).
Ejercicio 5Avanzado
Calcula: 0.75 + 0.333… − 0.1666… expresando el resultado como fracción irreducible.
💡 Pista: Convierte cada decimal a fracción y luego opera: 0.75 = 3/4, 0.333… = 1/3, 0.1666… = 1/6.
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Paso 10.75 = 3/4
Paso 20.333… = 1/3
Paso 30.1666… = 1/6
Paso 4mcm(4, 3, 6) = 12
Paso 53/4 = 9/12, 1/3 = 4/12, 1/6 = 2/12
Paso 69/12 + 4/12 − 2/12 = **11/12**
Tema 5 — Potencias
Las potencias permiten abreviar productos repetidos y son clave para la notación científica. En 2º ESO se trabajan las propiedades de potencias (producto, cociente, potencia de potencia) con bases enteras y exponentes enteros. La notación científica expresa cantidades muy grandes o muy pequeñas de forma compacta.
Conceptos clave:
Potencia: aⁿ = a × a × … × a (n veces); a es la base y n el exponente
Producto de potencias (misma base): aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Cociente de potencias (misma base): aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Potencia de potencia: (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ
Notación científica: un número entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10
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Ejercicio 1Básico
Calcula 2⁸.
💡 Pista: Multiplica 2 por sí mismo 8 veces, o bien: 2⁴ = 16, luego 2⁸ = 16 × 16.
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Paso 12⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
Paso 22⁸ = 2⁴ × 2⁴ = 16 × 16 = **256**
Ejercicio 2Básico
Calcula (−5)³.
💡 Pista: Exponente impar: el resultado conserva el signo de la base.
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Paso 1(−5)³ = (−5) × (−5) × (−5)
Paso 2(−5) × (−5) = 25
Paso 325 × (−5) = **−125**
⚠️ Exponente impar → resultado negativo. Si fuera (−5)⁴ = 625 (positivo).
Ejercicio 3Intermedio
Simplifica: 3⁵ × 3² ÷ 3⁴
💡 Pista: Usa las propiedades de potencias: suma exponentes en el producto y resta en el cociente.
💡 Pista: Aplica potencia de potencia primero: (2³)² = 2⁶. Luego suma y resta exponentes.
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Paso 1Potencia de potencia: (2³)² = 2³ˣ² = 2⁶
Paso 2Producto: 2⁶ × 2⁻⁴ = 2⁶⁺⁽⁻⁴⁾ = 2²
Paso 3Cociente: 2² ÷ 2² = 2²⁻² = 2⁰
Paso 42⁰ = **1**
⚠️ Cualquier número distinto de cero elevado a 0 es igual a 1.
Tema 6 — Raíces y aproximaciones
Las raíces cuadradas son la operación inversa de elevar al cuadrado. No siempre dan un número entero, por lo que se trabaja con aproximaciones y acotaciones. Simplificar raíces consiste en extraer factores cuadrados perfectos para dejar la raíz lo más sencilla posible.
Conceptos clave:
Raíz cuadrada exacta: √a = b si b² = a (ejemplo: √144 = 12)
Raíz no exacta: se acota entre dos enteros consecutivos (√50 está entre 7 y 8)
Simplificación de raíces: √(a²·b) = a√b (se extraen los cuadrados perfectos)
Producto de raíces: √a × √b = √(a×b)
Aproximación decimal: se buscan decimales sucesivos que al cuadrado se acerquen al radicando
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Ejercicio 1Básico
Calcula √361.
💡 Pista: Busca un número que al cuadrado dé 361. Prueba cerca de 20.
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Paso 1Probamos: 19² = 361 ✓
Paso 2√361 = **19**
Ejercicio 2Básico
¿Entre qué dos números enteros consecutivos se encuentra √50?
💡 Pista: Calcula 7² y 8² y comprueba cuál contiene al 50.
💡 Pista: Simplifica cada raíz por separado y después suma/resta las que tengan el mismo radicando.
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Paso 1√18 = √(9×2) = 3√2
Paso 2√32 = √(16×2) = 4√2
Paso 3√8 = √(4×2) = 2√2
Paso 43√2 + 4√2 − 2√2 = **5√2**
⚠️ Solo se pueden sumar/restar raíces con el mismo radicando.
Ejercicio 5Avanzado
Calcula √(2⁶ × 3⁴ × 5²) sin calculadora.
💡 Pista: Aplica la raíz a cada factor: √(aⁿ) = a^(n/2).
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Paso 1√(2⁶) = 2³ = 8
Paso 2√(3⁴) = 3² = 9
Paso 3√(5²) = 5
Paso 4Resultado: 8 × 9 × 5 = 72 × 5 = **360**
⚠️ Todos los exponentes son pares, así que la raíz es exacta.
Tema 7 — Proporcionalidad directa
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar una por un número, la otra se multiplica por el mismo. Las razones y proporciones permiten resolver problemas de regla de tres y repartos proporcionales. La constante de proporcionalidad es el valor que relaciona ambas magnitudes.
Conceptos clave:
Razón: cociente entre dos cantidades del mismo tipo (a:b = a/b)
Proporción: igualdad entre dos razones (a/b = c/d)
Proporcionalidad directa: y = k·x, donde k es la constante de proporcionalidad
Regla de tres directa: si a → b, entonces c → x con x = b·c/a
Reparto directamente proporcional: distribuir una cantidad proporcionalmente a unos valores dados
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Ejercicio 1Básico
Expresa la razón 9:4 como fracción y calcula el valor de x si 9/4 = x/20.
💡 Pista: Aplica la propiedad fundamental de proporciones: 9 × 20 = 4 × x.
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Paso 1Razón 9:4 como fracción: 9/4
Paso 2Proporción: 9/4 = x/20
Paso 3Producto cruzado: 9 × 20 = 4 × x
Paso 4180 = 4x
Paso 5x = 180 ÷ 4 = **45**
Ejercicio 2Básico
Si 3 kg de naranjas cuestan 7.50 €, ¿cuánto cuestan 8 kg?
💡 Pista: Usa una regla de tres directa: más kilos → más precio.
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Paso 13 kg → 7.50 €
Paso 28 kg → x €
Paso 3x = (7.50 × 8) / 3
Paso 4x = 60 / 3 = **20 €**
Ejercicio 3Intermedio
Un coche recorre 210 km con 14 litros de gasolina. ¿Cuántos litros necesita para 525 km?
💡 Pista: Más kilómetros → más litros. Proporcionalidad directa.
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Paso 1210 km → 14 litros
Paso 2525 km → x litros
Paso 3x = (14 × 525) / 210
Paso 4x = 7350 / 210 = **35 litros**
Ejercicio 4Intermedio
Reparte 270 € entre Ana, Bruno y Carla en proporción 2:3:4.
💡 Pista: Suma las partes (2+3+4 = 9) y calcula el valor de cada parte.
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Paso 1Total de partes: 2 + 3 + 4 = 9
Paso 2Valor de cada parte: 270 ÷ 9 = 30 €
Paso 3Ana: 2 × 30 = 60 €
Paso 4Bruno: 3 × 30 = 90 €
Paso 5Carla: 4 × 30 = 120 €
Paso 6**Ana: 60 €, Bruno: 90 €, Carla: 120 €**
⚠️ Comprobación: 60 + 90 + 120 = 270 ✓
Ejercicio 5Avanzado
Un mapa tiene escala 1:75 000. La distancia entre dos pueblos en el mapa es 8.4 cm. ¿Cuál es la distancia real en km?
💡 Pista: Multiplica la distancia del mapa por la escala y convierte a km.
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Paso 1Distancia real = distancia en mapa × escala
Paso 2Distancia real = 8.4 cm × 75 000 = 630 000 cm
Paso 3Convertimos a km: 630 000 cm ÷ 100 000 = **6.3 km**
Tema 8 — Proporcionalidad inversa y compuesta
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, la otra disminuye en la misma proporción (su producto es constante). La proporcionalidad compuesta aparece cuando intervienen tres o más magnitudes, combinando relaciones directas e inversas en un mismo problema.
Conceptos clave:
Proporcionalidad inversa: x·y = k (constante); si una se duplica, la otra se reduce a la mitad
Regla de tres inversa: si a → b, entonces c → x con x = a·b/c
Proporcionalidad compuesta: problemas con más de dos magnitudes relacionadas
Método de reducción a la unidad: calcular cuánto corresponde a una unidad y después multiplicar
Identificación del tipo: analizar si al aumentar una magnitud la otra aumenta (directa) o disminuye (inversa)
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Ejercicio 1Básico
Si 6 máquinas tardan 5 horas en hacer un trabajo, ¿cuántas horas tardarán 10 máquinas?
💡 Pista: Más máquinas → menos horas. Es proporcionalidad inversa.
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Paso 16 máquinas → 5 horas
Paso 210 máquinas → x horas
Paso 3Inversa: x = (6 × 5) / 10
Paso 4x = 30 / 10 = **3 horas**
Ejercicio 2Intermedio
Un grifo que vierte 9 litros por minuto llena un depósito en 40 minutos. ¿Cuánto tardará un grifo de 15 litros por minuto?
💡 Pista: Mayor caudal → menos tiempo. Proporcionalidad inversa.
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Paso 19 L/min → 40 min
Paso 215 L/min → x min
Paso 3Inversa: x = (9 × 40) / 15
Paso 4x = 360 / 15 = **24 minutos**
Ejercicio 3Intermedio
Si 4 obreros trabajando 6 horas al día tardan 15 días en terminar una obra, ¿cuántos días tardarán 9 obreros trabajando 8 horas al día?
💡 Pista: Dos magnitudes inversas respecto a los días: más obreros → menos días, más horas/día → menos días.
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Paso 1Datos iniciales: 4 obreros, 6 h/día, 15 días
Paso 2Nuevos datos: 9 obreros, 8 h/día, x días
Paso 3Obreros: de 4 a 9 → inversa → factor 4/9
Paso 4Horas: de 6 a 8 → inversa → factor 6/8
Paso 5x = 15 × (4/9) × (6/8)
Paso 6x = 15 × 24/72 = 15 × 1/3 = **5 días**
Ejercicio 4Avanzado
Para alimentar a 12 caballos durante 20 días se necesitan 960 kg de pienso. ¿Cuántos kg de pienso se necesitan para 8 caballos durante 35 días?
💡 Pista: Caballos → directa (más caballos, más pienso). Días → directa (más días, más pienso).
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Paso 1Datos iniciales: 12 caballos, 20 días, 960 kg
Tres grifos llenan una piscina en 4 horas. El primer grifo solo tardaría 12 horas y el segundo 8 horas. ¿Cuántas horas tardaría el tercero solo?
💡 Pista: En 1 hora, los tres grifos llenan 1/4 de la piscina. Calcula cuánto llena cada uno y despeja el tercero.
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Paso 1Los tres juntos llenan: 1/4 por hora
Paso 2Grifo 1 llena: 1/12 por hora
Paso 3Grifo 2 llena: 1/8 por hora
Paso 4Grifo 3: 1/4 − 1/12 − 1/8
Paso 5mcm(4, 12, 8) = 24
Paso 66/24 − 2/24 − 3/24 = 1/24 por hora
Paso 7El grifo 3 tarda: 1 ÷ (1/24) = **24 horas**
Tema 9 — Porcentajes
Los porcentajes expresan una cantidad como fracción de 100 y aparecen en la vida diaria: descuentos, impuestos, interés bancario. Calcular el porcentaje de un número, hallar el total a partir de un porcentaje, y encadenar aumentos y disminuciones sucesivos son destrezas esenciales en 2º ESO.
Conceptos clave:
Porcentaje: a% de B = (a/100) × B
Aumento porcentual: cantidad × (1 + a/100)
Descuento porcentual: cantidad × (1 − a/100)
IVA: impuesto que se añade al precio base, habitualmente 21%, 10% o 4%
Porcentajes sucesivos: se multiplican los factores; un aumento del 5% seguido de otro del 8% NO es un 13%
0/5 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Calcula el 32% de 450.
💡 Pista: Multiplica 450 por 32/100.
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Paso 132% de 450 = (32/100) × 450
Paso 2= 0.32 × 450 = **144**
Ejercicio 2Básico
Un artículo cuesta 89 € sin IVA. Si el IVA es del 21%, ¿cuál es el precio final?
Paso 2Aumento del 10% sobre 45.50: 45.50 × (1 + 0.10) = 45.50 × 1.10
Paso 3Precio final: 45.50 × 1.10 = **50.05 €**
⚠️ Un descuento del 30% seguido de un aumento del 10% NO equivale a un descuento del 20%.
Ejercicio 4Intermedio
Después de aplicar un aumento del 5% y luego otro del 8%, un producto cuesta 567 €. ¿Cuál era el precio original?
💡 Pista: El precio final es precio original × 1.05 × 1.08. Despeja el precio original.
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Paso 1Factor total: 1.05 × 1.08 = 1.134
Paso 2Precio original × 1.134 = 567
Paso 3Precio original = 567 / 1.134 = **500 €**
Ejercicio 5Avanzado
En un pueblo, la población era de 14 000 habitantes. Aumentó un 6% el primer año y disminuyó un 4% el segundo. ¿Cuál es la población al final del segundo año? ¿Cuál ha sido la variación porcentual total?
💡 Pista: Aplica los porcentajes sucesivamente: multiplica por 1.06 y luego por 0.96.
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Paso 1Tras el primer año: 14 000 × 1.06 = 14 840
Paso 2Tras el segundo año: 14 840 × 0.96 = 14 246.4
⚠️ Un aumento del 6% y una disminución del 4% no se anulan: el resultado es un aumento del 1.76% (factor total: 1.06 × 0.96 = 1.0176).
Tema 10 — Expresiones algebraicas
Las expresiones algebraicas utilizan letras para representar cantidades desconocidas o variables. En 2º ESO se trabaja con monomios y polinomios, su evaluación numérica y las operaciones básicas. Las identidades notables son igualdades algebraicas que siempre se cumplen y permiten desarrollar o factorizar expresiones rápidamente.
Conceptos clave:
Monomio: expresión con un único término (coeficiente × parte literal), ejemplo: 5x³
Polinomio: suma de monomios; el grado es el mayor exponente de la variable
Valor numérico: resultado de sustituir las variables por números concretos
💡 Pista: El primer producto es una diferencia de cuadrados: (a−b)(a+b) = a²−b². El segundo es un cuadrado de un binomio.
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Paso 1(3x − 4)(3x + 4) = (3x)² − 4² = 9x² − 16
Paso 2(3x − 1)² = 9x² − 6x + 1
Paso 3Restamos: (9x² − 16) − (9x² − 6x + 1)
Paso 4= 9x² − 16 − 9x² + 6x − 1
Paso 5= **6x − 17**
⚠️ Los términos 9x² se cancelan. El resultado es un polinomio de grado 1 (lineal).
Tema 11 — Ecuaciones de primer grado
Una ecuación de primer grado tiene la incógnita elevada a exponente 1. Resolverla consiste en aislar la x aplicando operaciones inversas a ambos miembros. En 2º ESO se abordan ecuaciones con paréntesis, fracciones y denominadores, así como problemas de la vida real que se traducen a ecuaciones.
Conceptos clave:
Ecuación: igualdad con una o más incógnitas que solo se cumple para ciertos valores
Solución: valor de la incógnita que convierte la ecuación en una identidad
Trasposición de términos: pasar un término al otro miembro cambiando de signo (+ ↔ −) o de operación (× ↔ ÷)
Ecuaciones con denominadores: multiplicar toda la ecuación por el mcm de los denominadores
Planteo de problemas: traducir el enunciado a una ecuación, resolverla y comprobar la solución
0/5 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Resuelve: 12x − 7 = 5x + 21.
💡 Pista: Pasa los términos con x a un lado y los números al otro.
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Paso 112x − 5x = 21 + 7
Paso 27x = 28
Paso 3x = 28 / 7 = **4**
⚠️ Comprobación: 12·4 − 7 = 41 y 5·4 + 21 = 41 ✓
Ejercicio 2Intermedio
Resuelve: 3(2x − 5) − 4(x + 1) = 7.
💡 Pista: Desarrolla los paréntesis primero y luego agrupa términos.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 16x − 15 − 4x − 4 = 7
Paso 22x − 19 = 7
Paso 32x = 7 + 19 = 26
Paso 4x = 26 / 2 = **13**
Ejercicio 3Intermedio
Resuelve: (x+3)/4 − (2x−1)/6 = 1.
💡 Pista: Multiplica toda la ecuación por mcm(4, 6) = 12 para eliminar denominadores.
Un tren sale de la ciudad A hacia B a 90 km/h. Una hora después, otro tren sale de A hacia B a 120 km/h. ¿En cuántas horas alcanza el segundo tren al primero?
💡 Pista: Cuando se encuentran, ambos han recorrido la misma distancia. El primer tren lleva 1 hora más de ventaja.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Sea t = horas del segundo tren
Paso 2El primer tren lleva t + 1 horas
Paso 3Distancia primer tren: 90(t + 1)
Paso 4Distancia segundo tren: 120t
Paso 5Se igualan: 90(t + 1) = 120t
Paso 690t + 90 = 120t
Paso 790 = 30t
Paso 8t = **3 horas**
⚠️ Comprobación: Tren 1 recorre 90 × 4 = 360 km. Tren 2 recorre 120 × 3 = 360 km ✓
Ejercicio 5Avanzado
La suma de tres números consecutivos pares es 138. ¿Cuáles son esos números?
💡 Pista: Si el primero es x (par), los siguientes son x+2 y x+4.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Números: x, x+2, x+4
Paso 2Ecuación: x + (x+2) + (x+4) = 138
Paso 33x + 6 = 138
Paso 43x = 132
Paso 5x = 44
Paso 6Los tres números son **44, 46 y 48**
⚠️ Comprobación: 44 + 46 + 48 = 138 ✓
Tema 12 — Ecuaciones de segundo grado
Las ecuaciones de segundo grado tienen la forma ax² + bx + c = 0. Se resuelven mediante la fórmula general, por factorización o despejando directamente cuando falta algún término. El discriminante (b² − 4ac) indica si tiene dos soluciones, una o ninguna real.
Conceptos clave:
Forma general: ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0
Fórmula general: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
Discriminante: Δ = b²−4ac; si Δ > 0 → 2 soluciones, Δ = 0 → 1 solución, Δ < 0 → sin solución real
Ecuación incompleta sin c: ax² + bx = 0 → x(ax+b) = 0 → x = 0 o x = −b/a
Ecuación incompleta sin b: ax² + c = 0 → x² = −c/a → x = ±√(−c/a)
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Ejercicio 1Básico
Resuelve: x² − 100 = 0.
💡 Pista: Es una ecuación incompleta (sin término en x). Despeja x² y calcula la raíz.
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Paso 1x² = 100
Paso 2x = ±√100
Paso 3**x = 10 y x = −10**
Ejercicio 2Intermedio
Resuelve: x² − 9x + 20 = 0.
💡 Pista: Busca dos números que multiplicados den 20 y sumados den 9. También puedes usar la fórmula general.
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Paso 1a = 1, b = −9, c = 20
Paso 2Discriminante: (−9)² − 4·1·20 = 81 − 80 = 1
Paso 3√1 = 1
Paso 4x = (9 ± 1) / 2
Paso 5x₁ = (9 + 1) / 2 = 10/2 = 5
Paso 6x₂ = (9 − 1) / 2 = 8/2 = 4
Paso 7**x = 4 y x = 5**
⚠️ También se puede factorizar: (x−4)(x−5) = 0.
Ejercicio 3Intermedio
Resuelve: 6x² − 24 = 0.
💡 Pista: Es una ecuación incompleta sin b. Despeja x².
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Paso 16x² = 24
Paso 2x² = 24/6 = 4
Paso 3x = ±√4
Paso 4**x = 2 y x = −2**
Ejercicio 4Avanzado
Resuelve: 2x² + 7x − 15 = 0.
💡 Pista: Aplica la fórmula general con a = 2, b = 7, c = −15.
El Teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: c² = a² + b². Permite calcular lados desconocidos, diagonales de figuras planas y distancias en coordenadas. También sirve para comprobar si un triángulo es rectángulo.
Conceptos clave:
Teorema de Pitágoras: c² = a² + b² (solo en triángulos rectángulos)
Hipotenusa: lado mayor, opuesto al ángulo recto
Catetos: los dos lados que forman el ángulo recto
Terna pitagórica: tres enteros positivos que cumplen a² + b² = c² (3,4,5 — 5,12,13 — 8,15,17)
Diagonal del rectángulo: d = √(base² + altura²)
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Ejercicio 1Básico
Comprueba si el triángulo de lados 15, 20 y 25 cm es rectángulo.
💡 Pista: Comprueba si el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos.
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Paso 1Lado mayor: 25 → 25² = 625
Paso 2Otros lados: 15² + 20² = 225 + 400 = 625
Paso 3625 = 625 ✓
Paso 4**Sí, es un triángulo rectángulo** (terna pitagórica 3-4-5 multiplicada por 5)
Ejercicio 2Básico
Calcula la diagonal de un rectángulo de 16 cm de base y 12 cm de altura.
💡 Pista: La diagonal es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por la base y la altura.
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Paso 1d² = 16² + 12² = 256 + 144 = 400
Paso 2d = √400 = **20 cm**
⚠️ Terna pitagórica 3-4-5 multiplicada por 4: (12, 16, 20).
Ejercicio 3Intermedio
Una escalera de 13 m se apoya en una pared. El pie de la escalera está a 5 m de la pared. ¿A qué altura de la pared llega la escalera?
💡 Pista: La escalera es la hipotenusa, la distancia a la pared un cateto. Calcula el otro cateto.
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Paso 1Hipotenusa (escalera) = 13 m, cateto (suelo) = 5 m
Paso 2h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
Paso 3h = √144 = **12 m**
Ejercicio 4Intermedio
Calcula la altura de un triángulo equilátero de lado 14 cm.
💡 Pista: La altura divide al triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos iguales. El cateto menor mide la mitad del lado.
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Paso 1La altura divide la base en dos: 14/2 = 7 cm
Un rombo tiene diagonales de 18 cm y 24 cm. Calcula la longitud del lado y el perímetro.
💡 Pista: Las diagonales del rombo se cortan en su punto medio formando ángulos rectos. Cada mitad de diagonal es un cateto.
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Paso 1Semidiagonales: 18/2 = 9 cm y 24/2 = 12 cm
Paso 2El lado del rombo es la hipotenusa: L² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225
Paso 3L = √225 = 15 cm
Paso 4Perímetro = 4 × 15 = **60 cm**
⚠️ Terna pitagórica 3-4-5 multiplicada por 3: (9, 12, 15).
Tema 14 — Áreas y volúmenes
En 2º ESO se calculan áreas de figuras planas (polígonos, círculos) y volúmenes de cuerpos geométricos (prismas, cilindros, conos, pirámides, esferas). Es fundamental conocer las fórmulas y saber aplicarlas a cuerpos compuestos y truncados, combinando varias figuras en un mismo problema.
Conceptos clave:
Área del círculo: A = π·r²; Longitud de circunferencia: L = 2π·r
Volumen de prisma: V = Área de la base × altura
Volumen de cilindro: V = π·r²·h
Volumen de cono: V = (1/3)·π·r²·h; Tronco de cono: V = (π·h/3)·(R² + r² + R·r)
Volumen de esfera: V = (4/3)·π·r³
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Ejercicio 1Básico
Calcula el volumen de una esfera de radio 8 cm. (Usa π ≈ 3.14)
💡 Pista: Fórmula: V = (4/3)·π·r³.
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Paso 1V = (4/3) × π × 8³
Paso 28³ = 512
Paso 3V = (4/3) × 3.14 × 512
Paso 4V = 4.1867 × 512 ≈ **2144.66 cm³**
⚠️ Con π exacto: V = (2048/3)π ≈ 2144.66 cm³.
Ejercicio 2Intermedio
Calcula el volumen de un prisma de base hexagonal regular con lado de la base 4 cm y altura 10 cm. (Usa √3 ≈ 1.732)
💡 Pista: Área del hexágono regular = (3√3/2)·L². Luego multiplica por la altura.
⚠️ El tronco de cono se obtiene al cortar un cono con un plano paralelo a la base.
Ejercicio 4Avanzado
Un cilindro tiene radio 6 cm y altura 11 cm. Se le extrae una semiesfera de radio 6 cm de una de sus bases. ¿Cuál es el volumen del sólido resultante? (Usa π ≈ 3.14)
💡 Pista: Calcula el volumen del cilindro y réstale el volumen de la semiesfera.
Un depósito tiene forma de cilindro (radio 3 m, altura 5 m) coronado por un cono (mismo radio, altura del cono 2 m). Calcula el volumen total. (Usa π ≈ 3.14)
💡 Pista: Suma el volumen del cilindro y el del cono.
La estadística recoge, organiza y analiza datos mediante tablas de frecuencias, gráficos y medidas de centralización. La probabilidad cuantifica la posibilidad de que ocurra un suceso, asignando un valor entre 0 (imposible) y 1 (seguro). En 2º ESO se trabaja con la regla de Laplace y las representaciones gráficas más comunes.
Conceptos clave:
Media aritmética: suma de todos los valores dividida entre el número de datos
Mediana: valor central de los datos ordenados
Moda: valor que más se repite
Frecuencia absoluta: número de veces que aparece cada valor; frecuencia relativa: absoluta / total
Regla de Laplace: P(suceso) = casos favorables / casos posibles
0/5 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Calcula la media, mediana y moda del siguiente conjunto de datos: 3, 7, 7, 4, 9, 2, 7, 5, 6, 10.
💡 Pista: Para la mediana, ordena los datos y calcula la media de los dos valores centrales (hay 10 datos, número par).
Paso 3Mediana (10 datos → media de los valores 5º y 6º): (6+7)/2 = 6.5
Paso 4Moda: 7 (aparece 3 veces)
Paso 5**Media: 6, Mediana: 6.5, Moda: 7**
Ejercicio 2Básico
En una urna hay 5 bolas rojas, 3 azules y 2 verdes. Si se extrae una bola al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea azul?
💡 Pista: Regla de Laplace: casos favorables (azules) / casos posibles (total de bolas).
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Paso 1Total de bolas: 5 + 3 + 2 = 10
Paso 2Bolas azules: 3
Paso 3P(azul) = 3/10 = **0.3 (30%)**
Ejercicio 3Intermedio
Un diagrama de barras muestra las notas de 25 alumnos: Suspenso (4), Aprobado (7), Bien (6), Notable (5), Sobresaliente (3). Calcula la frecuencia relativa de cada categoría y la probabilidad de elegir al azar un alumno con Notable o Sobresaliente.
💡 Pista: Frecuencia relativa = frecuencia absoluta / total. Para la probabilidad, suma los favorables.
La técnica del bolígrafo rojo es la más efectiva: haz tus ejercicios en azul, intenta resolver cada problema del módulo interactivo, y cuando veas la solución, anota en rojo dónde fallaste. Ese proceso de identificar exactamente tu error es lo que evita que lo repitas en el examen real.
Los ejercicios resueltos están ordenados de menor a mayor dificultad dentro de cada tema. Si un tema se te resiste, empieza por los básicos (verdes) y avanza hacia los avanzados (rojos) cuando domines los primeros.
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