Solucionario completo de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I 1 Bachillerato Casals con ejercicios resueltos paso a paso. Esta asignatura cubre aritmética financiera, funciones y derivadas aplicadas, estadística y probabilidad, herramientas fundamentales para ADE, Economía, Sociología y Periodismo.
En este solucionario de Matemáticas Aplicadas CCSS I 1 Bachillerato Casals encontrarás ejercicios interactivos con autocorrección instantánea, resúmenes de teoría por tema y soluciones paso a paso con explicación detallada. Cada ejercicio incluye autoevaluación con pistas progresivas y una barra de progreso para que controles cuánto llevas de cada tema. Todo el contenido está adaptado al currículo oficial de 1º Bachillerato.
👆 Haz click en un tema del índice de arriba para ver los ejercicios resueltos, la teoría resumida y la autoevaluación interactiva.
Tema 1 — Números reales
Los números reales incluyen racionales e irracionales. En CCSS se trabajan especialmente los porcentajes, las potencias fraccionarias y los logaritmos como herramientas de cálculo financiero y estadístico.
Conceptos clave:
Intervalos: abiertos (a,b), cerrados [a,b]; unión e intersección
Potencias fraccionarias: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ); propiedades de exponentes
La aritmética financiera aplica porcentajes e intereses al mundo económico. El interés simple se calcula como I = C·r·t, el interés compuesto como C_f = C₀·(1+r)ⁿ. Las TAE y TIN permiten comparar productos financieros.
Conceptos clave:
Interés simple: I = C₀ · r · t; capital final C_f = C₀(1 + r·t)
En CCSS se trabajan ecuaciones lineales, cuadráticas y exponenciales. Los sistemas de ecuaciones lineales se resuelven por sustitución, igualación, reducción o Gauss. También se introducen ecuaciones logarítmicas aplicadas a modelos de crecimiento.
Conceptos clave:
Ecuación cuadrática: ax² + bx + c = 0; fórmula x = (−b ± √Δ) / 2a
Ecuaciones exponenciales: aˣ = b → x = log b / log a
Ecuaciones logarítmicas: pasar a forma exponencial para resolver
Discusión de sistemas: compatible determinado, indeterminado, incompatible
0/5 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Resuelve: x² − 19x + 90 = 0 (solución mayor):
💡 Pista: Factoriza: (x−9)(x−10) = 0
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Paso 1(x−9)(x−10) = 0 → x = 9 o x = **10**
Ejercicio 2Básico
Resuelve el sistema: x + y = 7, 2x − y = 5. ¿Cuánto vale x?
💡 Pista: Suma ambas ecuaciones para eliminar y.
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Paso 1Sumando: 3x = 12 → x = **4**
Paso 2y = 7 − 4 = 3
Ejercicio 3Intermedio
Resuelve: 2ˣ = 1024
💡 Pista: 1024 = 2^10
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Paso 12ˣ = 2^10 → x = **10**
Ejercicio 4Avanzado
Resuelve: log(x) + log(x−3) = 1
💡 Pista: log(x(x−3)) = 1 → x(x−3) = 10
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Paso 1log(x(x−3)) = 1
Paso 2x² − 3x = 10
Paso 3x² − 3x − 10 = 0
Paso 4(x−5)(x+2) = 0 → x = **5** (x = −2 no vale, logaritmo de negativo no existe)
Ejercicio 5Intermedio
Resuelve: 5ˣ⁺¹ = 125
💡 Pista: 125 = 5³
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Paso 15ˣ⁺¹ = 5³
Paso 2x + 1 = 3 → x = **2**
Tema 4 — Inecuaciones
Las inecuaciones en CCSS se aplican a problemas de optimización y restricciones económicas. Se resuelven inecuaciones lineales y cuadráticas y sistemas de inecuaciones. La solución se expresa en intervalos.
Conceptos clave:
Inecuación lineal: ax + b > 0; al multiplicar por negativo se invierte el signo
Inecuación cuadrática: hallar raíces y estudiar signo del trinomio
Sistemas de inecuaciones: intersección de las soluciones
Valor absoluto: |x − a| < r equivale a a − r < x < a + r
Representación: solución en la recta real y en intervalos
0/4 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Resuelve: 3x − 7 > 2. ¿Cuál es el extremo inferior del intervalo solución?
💡 Pista: De la primera: x < 4. Con x ≥ 0: x ∈ {0, 1, 2, 3}.
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Paso 12x + 1 < 9 → x < 4
Paso 2x ≥ 0
Paso 3Enteros: 0, 1, 2, 3 → **4 enteros**
Tema 5 — Funciones: características generales
Una función asigna a cada valor de x un único valor de y. Se estudian dominio, recorrido, continuidad, monotonía, extremos, simetría y periodicidad. En CCSS se interpretan funciones que modelan fenómenos económicos y sociales.
Las funciones elementales en CCSS incluyen lineales (oferta/demanda), cuadráticas (beneficios), exponenciales (crecimiento poblacional), logarítmicas (utilidad marginal decreciente) y funciones a trozos (tarifas escalonadas).
Conceptos clave:
Función lineal: y = mx + n; m = pendiente, n = ordenada en el origen
Función cuadrática: y = ax² + bx + c; vértice en x = −b/(2a)
Exponencial: y = a · bˣ; crecimiento (b > 1) o decrecimiento (0 < b < 1)
Logarítmica: y = a · ln(x) + b; inversa de la exponencial
Función a trozos: definida por tramos; comprobar continuidad en los puntos de unión
0/5 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
¿Cuál es el vértice de f(x) = x² − 6x + 8? (da la coordenada x)
💡 Pista: x_v = −b/(2a)
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Paso 1x_v = −(−6)/(2·1) = 6/2 = **3**
Paso 2y_v = 9 − 18 + 8 = −1, vértice (3, −1)
Ejercicio 2Intermedio
Una población crece según P(t) = 5000 · 1,03ᵗ. ¿Cuál es la población en t = 10? (redondea a entero)
💡 Pista: P(10) = 5000 × 1,03¹⁰
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Paso 11,03¹⁰ ≈ 1,3439
Paso 2P(10) = 5000 × 1,3439 ≈ **6720**
Ejercicio 3Básico
La pendiente de y = 3x − 7 es:
💡 Pista: En y = mx + n, m es la pendiente.
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Paso 1En y = 3x − 7, la pendiente m = **3**
Ejercicio 4Intermedio
¿Cuántas raíces reales tiene f(x) = 2x² − 4x + 5?
💡 Pista: Calcula el discriminante Δ = b² − 4ac.
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Paso 1Δ = 16 − 40 = −24 < 0
Paso 2No tiene raíces reales → **0**
Ejercicio 5Básico
Si f(x) = ln(x), ¿cuánto vale f(e²)?
💡 Pista: ln(eⁿ) = n
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Paso 1f(e²) = ln(e²) = **2**
Tema 7 — Límites de funciones
El límite describe el comportamiento de una función cuando x se acerca a un punto. Las indeterminaciones 0/0 y ∞/∞ se resuelven factorizando o dividiendo. Los límites en el infinito determinan las asíntotas horizontales.
Conceptos clave:
Límite finito: lím(x→a) f(x) = L si f(x) se acerca a L
Indeterminación 0/0: factorizar y simplificar
Indeterminación ∞/∞: dividir por la mayor potencia de x
Límites laterales: por la izquierda (x→a⁻) y por la derecha (x→a⁺)
Continuidad: f continua en a si lím(x→a) f(x) = f(a)
¿Tiene f(x) = (x² − 1)/(x − 1) una discontinuidad evitable en x = 1? (sí o no)
💡 Pista: Simplifica y calcula el límite en x = 1.
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Paso 1f(x) = (x−1)(x+1)/(x−1) = x+1 para x ≠ 1
Paso 2lím(x→1) = 2, pero f(1) no está definida
Paso 3Discontinuidad evitable → **sí**
Tema 8 — Derivadas
La derivada f'(x) mide la tasa de cambio instantánea de f. En CCSS se usa para calcular costes marginales, ingresos marginales, elasticidad de la demanda y optimizar beneficios.
Conceptos clave:
Derivada: f'(x) = lím(h→0) [f(x+h) − f(x)] / h
Reglas: (xⁿ)’ = nxⁿ⁻¹, (eˣ)’ = eˣ, (ln x)’ = 1/x
Regla del producto: (f·g)’ = f’g + fg’
Regla del cociente: (f/g)’ = (f’g − fg’) / g²
Regla de la cadena: [f(g(x))]’ = f'(g(x)) · g'(x)
0/5 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Deriva: f(x) = 10x³ − 9x + 21
💡 Pista: (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹
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Paso 1f'(x) = **30x² − 9**
Ejercicio 2Intermedio
Deriva: f(x) = e^(8x)
💡 Pista: (eᵘ)' = eᵘ·u'
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Paso 1f'(x) = **8e^(8x)**
Ejercicio 3Intermedio
Deriva: f(x) = ln(3x + 1)
💡 Pista: (ln u)' = u'/u
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Paso 1u = 3x+1 → u' = 3
Paso 2f'(x) = 3/(3x+1) = **3/(3x+1)**
Ejercicio 4Avanzado
El coste de producir x unidades es C(x) = 0,5x² + 10x + 200. ¿Cuál es el coste marginal para x = 20?
💡 Pista: El coste marginal es C'(x). Evalúa en x = 20.
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Paso 1C'(x) = x + 10
Paso 2C'(20) = 20 + 10 = **30 €/unidad**
Ejercicio 5Avanzado
Deriva: f(x) = x² · ln(x). Da f'(1).
💡 Pista: Regla del producto: (fg)' = f'g + fg'
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Paso 1f'(x) = 2x·ln(x) + x²·(1/x) = 2x·ln(x) + x
Paso 2f'(1) = 0 + 1 = **1**
Tema 9 — Estadística unidimensional
La estadística descriptiva resume datos con medidas de centralización (media, mediana, moda) y dispersión (varianza, desviación típica, coeficiente de variación). En CCSS se aplica a encuestas, demografía y economía.
La media es 10 y la desviación típica es 2. ¿Cuál es el coeficiente de variación (%)?
💡 Pista: CV = (σ/x̄) × 100
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Paso 1CV = (2/10) × 100 = **20%**
Ejercicio 4Intermedio
Calcula la varianza de: 2, 4, 6 (media = 4)
💡 Pista: σ² = [(2−4)² + (4−4)² + (6−4)²] / 3
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Paso 1(4 + 0 + 4)/3 = 8/3 ≈ **2,67**
Ejercicio 5Básico
¿Qué medida de centralización NO se ve afectada por valores extremos?
💡 Pista: Una de las tres (media, mediana, moda) es robusta frente a outliers.
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Paso 1La **mediana** no se ve afectada por valores extremos
Tema 10 — Estadística bidimensional
La estadística bidimensional estudia la relación entre dos variables. La recta de regresión y = a + bx minimiza las distancias verticales (mínimos cuadrados). El coeficiente de correlación r mide la fuerza de la relación lineal.
Conceptos clave:
Nube de puntos: representación gráfica de pares (xᵢ, yᵢ)
Covarianza: σ_xy = Σxᵢyᵢ/n − x̄·ȳ
Recta de regresión: y − ȳ = (σ_xy/σ²_x)(x − x̄)
Coeficiente de correlación: r = σ_xy / (σ_x · σ_y); −1 ≤ r ≤ 1
Fiabilidad: |r| > 0,75 → correlación fuerte
0/4 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Si r = −0,92, ¿la correlación es directa o inversa?
💡 Pista: r negativo indica correlación inversa.
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Paso 1r < 0 → la correlación es **inversa** (cuando x sube, y baja)
Ejercicio 2Intermedio
Si σ_xy = 6, σ_x = 3 y σ_y = 4, ¿cuánto vale r?
💡 Pista: r = σ_xy / (σ_x · σ_y)
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Paso 1r = 6 / (3 × 4) = 6/12 = **0,5**
Ejercicio 3Intermedio
La pendiente de la recta de regresión es b = σ_xy/σ²_x. Si σ_xy = 12 y σ_x = 4, ¿cuánto vale b?
💡 Pista: b = σ_xy / σ²_x = 12 / 16
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Paso 1σ²_x = 4² = 16
Paso 2b = 12/16 = **0,75**
Ejercicio 4Básico
¿Es fiable una predicción con r = 0,45? (sí o no)
💡 Pista: |r| debe ser > 0,75 para que la predicción sea fiable.
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Paso 1|0,45| = 0,45 < 0,75 → **no** es fiable
Tema 11 — Probabilidad
La probabilidad mide la posibilidad de que ocurra un suceso. Se aplican la regla de Laplace, la probabilidad condicionada, el teorema de Bayes y los diagramas de árbol.
Conceptos clave:
Regla de Laplace: P(A) = casos favorables / casos posibles
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
Sucesos independientes: P(A∩B) = P(A) · P(B)
Teorema de la probabilidad total: P(A) = Σ P(A|Bᵢ)·P(Bᵢ)
Teorema de Bayes: P(Bᵢ|A) = P(A|Bᵢ)·P(Bᵢ) / P(A)
0/4 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número par?
Si P(A) = 0,4 y P(B) = 0,3 y A y B son independientes, ¿cuánto vale P(A∩B)?
💡 Pista: Si son independientes: P(A∩B) = P(A)·P(B).
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Paso 1P(A∩B) = 0,4 × 0,3 = **0,12**
Ejercicio 3Intermedio
Urna con 4 rojas y 7 azules. Se sacan 2 sin reposición. P(2 rojas):
💡 Pista: P = (4/11) × (3/10)
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Paso 1P = (4/11)×(3/10) = **12/110**
Ejercicio 4Avanzado
El 60% de los alumnos aprueba. De los que aprueban, el 80% estudió. De los que suspenden, el 30% estudió. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno que estudió haya aprobado? (redondea a 2 decimales)
Las distribuciones de probabilidad modelan fenómenos aleatorios. La binomial B(n,p) cuenta éxitos en n pruebas independientes. La normal N(μ,σ) es la distribución continua más importante (campana de Gauss). Se usa la tipificación Z = (X−μ)/σ para consultar tablas.
Distribución normal: N(μ, σ); simétrica respecto a μ
Tipificación: Z = (X − μ) / σ → N(0,1)
Aproximación: B(n,p) ≈ N(np, √(np(1−p))) si n grande
0/5 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
X ~ B(22, 0,9). E(X) =
💡 Pista: E(X) = n·p
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Paso 1E(X) = 22 × 0,9 = **19.8**
Ejercicio 2Básico
Si X ~ N(50, 10) y X = 70, ¿cuál es el valor tipificado Z?
💡 Pista: Z = (X − μ) / σ
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1Z = (70 − 50) / 10 = 20/10 = **2**
Ejercicio 3Intermedio
Si X ~ B(5, 0,4), calcula P(X=0) (redondea a 4 decimales)
💡 Pista: P(X=0) = C(5,0) · 0,4⁰ · 0,6⁵
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1P(X=0) = 1 × 1 × 0,6⁵
Paso 20,6⁵ = 0,07776
Paso 3P(X=0) ≈ **0,0778**
Ejercicio 4Intermedio
Si Z ~ N(0,1), P(Z 1,96)?
💡 Pista: P(Z > a) = 1 − P(Z < a)
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1P(Z > 1,96) = 1 − 0,975 = **0,025**
Ejercicio 5Avanzado
Si X ~ B(100, 0,3), ¿cuánto vale σ? (redondea a 2 decimales)
💡 Pista: σ = √(n·p·(1−p))
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1σ² = 100 × 0,3 × 0,7 = 21
Paso 2σ = √21 ≈ **4,58**
Cómo usar este solucionario para aprobar
La técnica del bolígrafo rojo es la más efectiva: haz tus ejercicios en azul, intenta resolver cada problema del módulo interactivo, y cuando veas la solución, anota en rojo dónde fallaste. Ese proceso de identificar exactamente tu error es lo que evita que lo repitas en el examen real.
Los ejercicios resueltos están ordenados de menor a mayor dificultad dentro de cada tema. Si un tema se te resiste, empieza por los básicos (verdes) y avanza hacia los avanzados (rojos) cuando domines los primeros.
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