Solucionario completo de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II 2 Bachillerato Casals con ejercicios resueltos paso a paso. Asignatura clave para la EVAU/Selectividad. Incluye matrices y determinantes, programación lineal, probabilidad condicionada, inferencia estadística y derivadas aplicadas.
En este solucionario de Matemáticas CCSS II 2 Bachillerato Casals encontrarás ejercicios interactivos con autocorrección instantánea, resúmenes de teoría por tema y soluciones paso a paso con explicación detallada. Cada ejercicio incluye autoevaluación con pistas progresivas y una barra de progreso para que controles cuánto llevas de cada tema. Todo el contenido está adaptado al currículo oficial de 2º Bachillerato.
👆 Haz click en un tema del índice de arriba para ver los ejercicios resueltos, la teoría resumida y la autoevaluación interactiva.
Tema 1 — Matrices y determinantes
Una matriz es una tabla rectangular de números. El determinante es un escalar asociado a matrices cuadradas. Se usan para resolver sistemas y en programación lineal.
Rango: número máximo de filas (o columnas) linealmente independientes
Regla de Sarrus: determinantes 3×3
0/5 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Determinante de |9 7; 8 10|:
💡 Pista: ad − bc
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Paso 19×10 − 7×8 = 90 − 56 = **34**
Ejercicio 2Básico
Si A = |2 0; 1 3|, ¿cuánto vale |A|?
💡 Pista: 2×3 − 0×1
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Paso 12×3 − 0×1 = **6**
Ejercicio 3Intermedio
Si |A| = 5, ¿cuánto vale |2A| para A de 2×2?
💡 Pista: |kA| = k²|A| para 2×2.
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Paso 1|2A| = 2²×5 = **20**
Ejercicio 4Básico
¿Tiene inversa una matriz con determinante 0?
💡 Pista: A⁻¹ existe si |A| ≠ 0.
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Paso 1**No**, necesita |A| ≠ 0
Ejercicio 5Intermedio
Producto: |1 2| × |3; 4| = ?
💡 Pista: 1×3 + 2×4
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Paso 11×3 + 2×4 = 3 + 8 = **11**
Tema 2 — Sistemas de ecuaciones lineales
Los sistemas lineales se resuelven por Gauss, Cramer o matrices. El Teorema de Rouché-Frobenius determina si el sistema es compatible (determinado o indeterminado) o incompatible.
Conceptos clave:
Método de Gauss: escalonar la matriz ampliada
Regla de Cramer: xᵢ = |Aᵢ|/|A| (solo si |A| ≠ 0)
Rouché-Frobenius: compatible si rg(A) = rg(A|b)
Sistema compatible determinado: rg(A) = rg(A|b) = n (nº incógnitas)
Sistema incompatible: rg(A) ≠ rg(A|b)
0/4 ejercicios completados
Ejercicio 1Intermedio
Resuelve por Cramer: x+y=5, 2x−y=1. Valor de x:
💡 Pista: |A| = −1−2 = −3; x = |5 1; 1 −1|/|A|
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Paso 1|A| = −3
Paso 2x = (−5−1)/(−3) = −6/(−3) = **2**
Ejercicio 2Intermedio
Sistema: x+y=4, 2x+2y=8. ¿Es compatible determinado, indeterminado o incompatible?
Sistema: x+y=3, x+y=5. ¿Compatible o incompatible?
💡 Pista: rg(A) ≠ rg(A|b).
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Paso 1rg(A) = 1, rg(A|b) = 2 → **incompatible**
Ejercicio 4Básico
Si |A| = 0, ¿se puede usar Cramer?
💡 Pista: Cramer necesita |A| ≠ 0.
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Paso 1**No**, Cramer requiere |A| ≠ 0
Tema 3 — Programación lineal
La programación lineal optimiza (maximiza o minimiza) una función lineal sujeta a restricciones lineales. El óptimo se alcanza en un vértice de la región factible.
Conceptos clave:
Función objetivo: z = ax + by (a maximizar o minimizar)
Restricciones: inecuaciones lineales que definen la región factible
Región factible: polígono convexo solución del sistema de restricciones
Teorema fundamental: el óptimo está en un vértice
Método gráfico: representar, hallar vértices, evaluar z
¿En qué punto se alcanza el óptimo en programación lineal?
💡 Pista: Teorema fundamental.
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Paso 1En un **vértice** de la región factible
Ejercicio 4Básico
z=5x+3y. Vértice (2,4). Valor de z:
💡 Pista: Sustituye.
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Paso 1z = 5(2)+3(4) = 10+12 = **22**
Tema 4 — Límites y continuidad
Los límites permiten estudiar el comportamiento de funciones en puntos conflictivos y en el infinito. La continuidad exige que el límite coincida con el valor de la función.
Conceptos clave:
Indeterminación 0/0: factorizar y simplificar
Indeterminación ∞/∞: dividir por la mayor potencia
Indeterminación 1^∞: usar e^(lím f·g)
Continuidad: f continua en a si lím f(x) = f(a)
Asíntotas: vertical, horizontal, oblicua
0/4 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
lím(x→1) (x²−1)/(x−1):
💡 Pista: Factoriza.
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Paso 1(x−1)(x+1)/(x−1) = x+1 → **2**
Ejercicio 2Intermedio
lím(x→∞) (4x²−1)/(2x²+3):
💡 Pista: Divide por x².
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Paso 14/2 = **2**
Ejercicio 3Básico
lím(x→∞) (3x+1)/(x−2):
💡 Pista: Mismo grado.
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Paso 13/1 = **3**
Ejercicio 4Intermedio
Asíntota horizontal de f(x) = (2x−1)/(x+3):
💡 Pista: lím(x→∞) f(x).
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Paso 1lím = 2/1 = **2**, AH: y = 2
Tema 5 — Derivadas y aplicaciones
La derivada mide la tasa de cambio. En CCSS se aplica al cálculo de máximos y mínimos de beneficios, costes marginales y elasticidad. Monotonía, curvatura y optimización.
Conceptos clave:
Reglas de derivación: potencia, producto, cociente, cadena
Monotonía: f'(x)>0 creciente, f'(x)<0 decreciente
Extremos: f'(x)=0 y cambio de signo
Curvatura: f»(x)>0 convexa, f»(x)<0 cóncava
Optimización: máximo beneficio, mínimo coste
0/5 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Deriva: f(x) = 9x⁴ − 3x + 14
💡 Pista: (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹
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Paso 1f'(x) = **36x³ − 3**
Ejercicio 2Básico
f(x) = x² − 6x + 5. ¿En qué x tiene mínimo?
💡 Pista: f'(x) = 2x−6 = 0.
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Paso 1f'(x) = 2x − 6 = 0 → x = **3**
Ejercicio 3Intermedio
B(x) = −8x² + 22x − 10. Producción óptima x:
💡 Pista: B'(x) = −16x + 22 = 0.
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Paso 1x = 22/16 = **1.375**
Ejercicio 4Intermedio
Deriva: f(x) = ln(2x+1)
💡 Pista: (ln u)' = u'/u
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Paso 1f'(x) = **2/(2x+1)**
Ejercicio 5Intermedio
Recta tangente a f(x) = x² en x = 2. Pendiente:
💡 Pista: f'(2) = 2·2.
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Paso 1f'(x) = 2x → f'(2) = **4**
Tema 6 — Representación de funciones
El estudio completo de una función incluye dominio, simetría, cortes con ejes, asíntotas, monotonía, extremos, curvatura y puntos de inflexión.
Del ejercicio anterior: P(F1|defectuoso) (2 decimales):
💡 Pista: Bayes: P(F1|D) = P(D|F1)P(F1)/P(D)
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Paso 1P(F1|D) = 0,02/0,038 ≈ **0,53**
Tema 8 — Distribuciones de probabilidad
La binomial B(n,p) modela nº de éxitos en n pruebas. La normal N(μ,σ) es la distribución continua fundamental. La tipificación Z=(X−μ)/σ convierte a N(0,1).
Conceptos clave:
Binomial: P(X=k) = C(n,k)·pᵏ·qⁿ⁻ᵏ; μ=np, σ²=npq
Normal: N(μ,σ); simétrica, campaniforme
Tipificación: Z = (X−μ)/σ → N(0,1)
Aproximación: B(n,p) ≈ N(np, √npq) si n grande
Tablas de la normal: P(Z<z) para z estándar
0/5 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
X ~ B(50, 1,0). E(X) =
💡 Pista: E(X) = np
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Paso 1E(X) = 50 × 1,0 = **50**
Ejercicio 2Básico
X ~ N(100, 15). Tipifica X = 130:
💡 Pista: Z = (X−μ)/σ
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Paso 1Z = (130−100)/15 = 30/15 = **2**
Ejercicio 3Intermedio
P(Z 1,5). ¿Verdadero o falso?
💡 Pista: La normal es simétrica.
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Paso 1Por simetría de la normal: **verdadero**
Ejercicio 4Intermedio
X ~ B(100, 0,3). σ (2 decimales):
💡 Pista: σ = √(npq)
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Paso 1σ = √(100×0,3×0,7) = √21 ≈ **4,58**
Ejercicio 5Intermedio
Si P(Z<1,96) = 0,975, P(−1,96<Z<1,96) =
💡 Pista: P = 1 − 2×P(Z>1,96).
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Paso 1P = 2×0,975 − 1 = **0,95**
Tema 9 — Inferencia estadística: intervalos de confianza
La inferencia estima parámetros poblacionales a partir de muestras. Un intervalo de confianza es un rango donde se espera que esté el parámetro con cierta probabilidad.
Si aumentamos n, ¿el IC se hace más ancho o estrecho?
💡 Pista: √n en el denominador.
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Paso 1Mayor n → menor error → IC **más estrecho**
Ejercicio 4Intermedio
x̄=80, σ=13, n=324, z=1,96. Extremo superior del IC:
💡 Pista: 80 + 1,96 × 13/√324
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Paso 180 + 1,96 × 13/18 = 80 + 1.42 = **81.42**
Ejercicio 5Básico
¿Qué z corresponde al 99% de confianza?
💡 Pista: α = 0,01.
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Paso 1z = **2,576**
Tema 10 — Inferencia: contraste de hipótesis
El contraste de hipótesis decide si rechazar o no una hipótesis nula H₀ sobre un parámetro poblacional, usando un estadístico de prueba y un nivel de significación α.
Conceptos clave:
H₀: hipótesis nula (lo que se supone cierto)
H₁: hipótesis alternativa
p-valor: probabilidad de observar un resultado tan extremo si H₀ fuera cierta
Rechazar H₀: si p-valor < α
Error tipo I: rechazar H₀ siendo verdadera (prob = α)
0/4 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Si α = 0,05 y p-valor = 0,03, ¿se rechaza H₀?
💡 Pista: p-valor < α → rechazar.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 10,03 < 0,05 → **sí**, se rechaza H₀
Ejercicio 2Básico
Si α = 0,01 y p-valor = 0,04, ¿se rechaza H₀?
💡 Pista: p-valor > α → no rechazar.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 10,04 > 0,01 → **no** se rechaza H₀
Ejercicio 3Intermedio
¿Cómo se llama el error de rechazar H₀ siendo verdadera?
💡 Pista: Su probabilidad es α.
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Paso 1**Error tipo I** (α)
Ejercicio 4Intermedio
¿La zona de rechazo depende de α o del tamaño muestral?
💡 Pista: Nivel de significación.
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Paso 1Depende de **α** (nivel de significación)
Cómo usar este solucionario para aprobar
La técnica del bolígrafo rojo es la más efectiva: haz tus ejercicios en azul, intenta resolver cada problema del módulo interactivo, y cuando veas la solución, anota en rojo dónde fallaste. Ese proceso de identificar exactamente tu error es lo que evita que lo repitas en el examen real.
Los ejercicios resueltos están ordenados de menor a mayor dificultad dentro de cada tema. Si un tema se te resiste, empieza por los básicos (verdes) y avanza hacia los avanzados (rojos) cuando domines los primeros.
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