Solucionario completo de Matemáticas II 2 Bachillerato Bruño con todos los ejercicios resueltos. Este curso prepara directamente para la EVAU/Selectividad.
En este solucionario de Matemáticas 2 Bachillerato Bruño encontrarás ejercicios interactivos, resúmenes de teoría y soluciones paso a paso.
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Tema 1 — Matrices
Una matriz es una tabla rectangular de números ordenados en filas y columnas. Operaciones: suma (misma dimensión, elemento a elemento), producto por escalar, producto de matrices (filas×columnas: A(m×n)·B(n×p)=C(m×p)). Matriz inversa: A·A⁻¹=I. Existe si det(A)≠0. Tipos: cuadrada, identidad I, nula, traspuesta Aᵀ, simétrica (A=Aᵀ).
El determinante es un número asociado a una matriz cuadrada. Orden 2: |a b; c d|=ad-bc. Orden 3: regla de Sarrus. Propiedades: det(Aᵀ)=det(A), si una fila es cero → det=0, si dos filas iguales → det=0, det(A·B)=det(A)·det(B). Rango: nº máximo de filas/columnas linealmente independientes = orden del mayor menor no nulo.
Conceptos clave:
2×2: ad-bc
3×3: Sarrus
Rango: orden del mayor menor ≠ 0
det(AB)=det(A)·det(B)
Fila de ceros → det=0
0/3 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
|3 2; 1 4| = ?
💡 Pista: ad − bc.
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Paso 13×4 − 2×1 = **10**
Ejercicio 2Básico
Si |A| = 0, ¿A tiene inversa?
💡 Pista: |A| ≠ 0 para inversa.
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Paso 1**No**
Ejercicio 3Intermedio
|kA| para A de 3×3 y k=2, |A|=5:
💡 Pista: |kA| = k³|A| para 3×3.
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Paso 12³ × 5 = **40**
Tema 3 — Sistemas de ecuaciones lineales
Conceptos clave:
Método de Gauss: escalonamiento de la matriz ampliada para resolver el sistema
Teorema de Rouché-Frobenius: compatible si rango(A) = rango(A|B); determinado si = nº incógnitas
Regla de Cramer: xᵢ = det(Aᵢ)/det(A); solo si det(A) ≠ 0
Sistemas homogéneos: Ax = 0; siempre tienen solución trivial (x = 0)
Discusión: paramétrica; compatible determinado, indeterminado o incompatible según los rangos
0/3 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
x+y=3, x−y=1. Valor de x:
💡 Pista: Suma las ecuaciones.
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Paso 12x = 4 → x = **2**
Ejercicio 2Básico
Sistema incompatible si rg(A) ≠ rg(A|b). ¿V o F?
💡 Pista: Rouché-Frobenius.
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Paso 1**Verdadero**
Ejercicio 3Básico
¿Método que escalonan la matriz ampliada?
💡 Pista: Triangularizar.
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Paso 1**Gauss** (eliminación gaussiana)
Tema 4 — Vectores en el espacio
Conceptos clave:
Vector en ℝ³: v⃗ = (v₁, v₂, v₃); operaciones: suma, producto por escalar
Producto mixto: [u⃗,v⃗,w⃗] = u⃗·(v⃗×w⃗); volumen del paralelepípedo
Dependencia lineal: vectores coplanarios si det(u⃗,v⃗,w⃗) = 0
0/3 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
Módulo de v⃗ = (3, 4, 0):
💡 Pista: |v| = √(9+16+0).
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Paso 1|v| = √25 = **5**
Ejercicio 2Intermedio
Producto escalar de u⃗=(1,2,3) y v⃗=(4,5,6):
💡 Pista: u·v = 1×4+2×5+3×6.
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Paso 14+10+18 = **32**
Ejercicio 3Básico
¿Perpendiculares si u⃗·v⃗ = 0? (sí/no)
💡 Pista: Definición.
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Paso 1**Sí**
Tema 5 — Geometría del espacio: rectas y planos
Conceptos clave:
Ecuación del plano: Ax+By+Cz+D = 0; vector normal n⃗ = (A,B,C)
Ecuaciones de la recta: paramétrica, continua, como intersección de dos planos
Posición relativa de rectas: secantes, paralelas, coincidentes, cruzadas
Posición relativa de planos: secantes, paralelos, coincidentes
Posición recta-plano: secante, paralela, contenida en el plano
0/2 ejercicios completados
Ejercicio 1Intermedio
Ecuación del plano que pasa por (1,0,0) con n⃗=(1,1,1):
💡 Pista: 1(x−1)+1(y)+1(z)=0.
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Paso 1**x + y + z = 1**
Ejercicio 2Básico
¿Dos planos paralelos tienen vectores normales proporcionales?
💡 Pista: Misma dirección normal.
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Paso 1**Sí**
Tema 6 — Problemas métricos: distancias y ángulos
Conceptos clave:
Distancia punto-plano: d = |Ax₀+By₀+Cz₀+D| / √(A²+B²+C²)
Distancia punto-recta: d = |PA⃗ × v⃗| / |v⃗|
Distancia entre rectas cruzadas: d = |[PA⃗, v⃗₁, v⃗₂]| / |v⃗₁ × v⃗₂|
Ángulo entre planos: cos α = |n⃗₁·n⃗₂| / (|n⃗₁|·|n⃗₂|)
Ángulo recta-plano: sen α = |v⃗·n⃗| / (|v⃗|·|n⃗|)
0/2 ejercicios completados
Ejercicio 1Intermedio
Distancia del punto (0,0,0) al plano x+y+z=6:
💡 Pista: d = |0+0+0−6|/√3 = 6/√3.
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Paso 1d = 6/√3 = 2√3 ≈ **3,46**
Ejercicio 2Básico
Distancia entre (1,0,0) y (4,0,0):
💡 Pista: Sobre el eje x.
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Paso 1**3**
Tema 7 — Límites de funciones
El límite de f(x) cuando x→a es el valor al que se acerca f(x). Indeterminaciones: 0/0, ∞/∞, ∞-∞, 0·∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰. Para resolver 0/0 o ∞/∞: factorizar, racionalizar o aplicar L’Hôpital (derivar numerador y denominador). Asíntotas: horizontal (lím x→±∞), vertical (lím x→a=±∞), oblicua (y=mx+n con m=lím f(x)/x, n=lím f(x)-mx).
Conceptos clave:
L’Hôpital: derivar num. y den.
AH: lím x→±∞ f(x)
AV: lím x→a = ±∞
AO: y=mx+n
Indeterminaciones: 0/0, ∞/∞…
0/3 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
lím(x→2) (x²−4)/(x−2):
💡 Pista: Factoriza.
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Paso 1(x+2) → **4**
Ejercicio 2Básico
lím(x→∞) (3x²+1)/(x²−2):
💡 Pista: Mismo grado.
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Paso 13/1 = **3**
Ejercicio 3Intermedio
lím(x→0) sen(x)/x:
💡 Pista: Límite notable.
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Paso 1**1**
Tema 8 — Continuidad y derivabilidad
Conceptos clave:
Continuidad: f continua en a si lím(x→a)f(x) = f(a); toda derivable es continua (no al revés)
Derivada: f'(a) = lím(h→0) [f(a+h)−f(a)]/h; pendiente de la tangente
Reglas de derivación: suma, producto, cociente, cadena; derivadas de funciones elementales
Teorema de Rolle: si f(a)=f(b), existe c en (a,b) con f'(c)=0
Teorema del valor medio: existe c en (a,b) con f'(c) = [f(b)−f(a)]/(b−a)
0/3 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
¿Derivable implica continua? (sí/no)
💡 Pista: Siempre.
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Paso 1**Sí** (derivable → continua, pero no al revés)
Ejercicio 2Básico
Deriva: f(x) = x⁵
💡 Pista: (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹.
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Paso 1f'(x) = **5x⁴**
Ejercicio 3Intermedio
Deriva: f(x) = sen(2x)
💡 Pista: Cadena.
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Paso 1**2cos(2x)**
Tema 9 — Aplicaciones de las derivadas
Aplicaciones de las derivadas: Crecimiento: f'(x)>0 → crece, f'(x)<0 → decrece. Extremos: f'(x₀)=0 y f»(x₀)>0 → mínimo, f»(x₀)<0 → máximo. Curvatura: f»(x)>0 → cóncava (∪), f»(x)<0 → convexa (∩). Puntos de inflexión: f»(x)=0 y cambia de signo. Recta tangente: y-f(a)=f'(a)(x-a). Optimización: plantear la función, derivar, igualar a 0.
Conceptos clave:
f’>0 → crece
f’=0 → candidato a extremo
f»>0 → mínimo
f»<0 → máximo
Tangente: y-f(a)=f'(a)(x-a)
0/4 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
f(x)=x³-3x. Halla f'(x).
💡 Pista: Derivar término a término.
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Paso 1f'(x)=**3x²-3**
Ejercicio 2Intermedio
f'(x)=3x²-3. ¿Puntos donde f'=0?
💡 Pista: 3x²-3=0 → x²=1
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Paso 13x²-3=0 → x²=1 → **x=1, x=-1**
Ejercicio 3Intermedio
f(x)=x³-3x, f''(x)=6x. ¿x=1 es máximo o mínimo?
💡 Pista: f''(1)=6>0
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Paso 1f''(1)=6>0 → **mínimo**
Ejercicio 4Avanzado
Ecuación tangente a f(x)=x² en x=2.
💡 Pista: f(2)=4, f'(2)=4. y-4=4(x-2).
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Paso 1f'(x)=2x, f'(2)=4. y-4=4(x-2) → **y=4x-4**
Tema 10 — Integrales indefinidas
La integral indefinida es la operación inversa de la derivada: ∫f(x)dx=F(x)+C donde F'(x)=f(x). Integrales inmediatas: ∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C, ∫1/x dx=ln|x|+C, ∫eˣdx=eˣ+C, ∫senx dx=-cosx+C, ∫cosx dx=senx+C. Métodos: sustitución (cambio de variable), por partes (∫udv=uv-∫vdu), descomposición en fracciones simples.
Conceptos clave:
∫xⁿ=xⁿ⁺¹/(n+1)+C
∫1/x=ln|x|+C
∫eˣ=eˣ+C
Sustitución: cambio t=g(x)
Partes: ∫udv=uv-∫vdu
0/4 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
∫ 3x² dx =
💡 Pista: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1).
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Paso 1**x³ + C**
Ejercicio 2Básico
∫ 1/x dx =
💡 Pista: Logaritmo.
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Paso 1**ln|x| + C**
Ejercicio 3Básico
∫ eˣ dx =
💡 Pista: La exponencial se mantiene.
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Paso 1**eˣ + C**
Ejercicio 4Básico
∫ cos(x) dx =
💡 Pista: Primitiva del coseno.
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Paso 1**sen(x) + C**
Tema 11 — Integrales definidas: cálculo de áreas
La integral definida ∫[a,b]f(x)dx calcula el área bajo la curva entre x=a y x=b. Regla de Barrow: ∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a). Si f(x)<0 en [a,b], la integral es negativa → el área es |∫|. Para áreas entre dos curvas: ∫[a,b]|f(x)-g(x)|dx. Propiedades: ∫[a,a]=0, ∫[a,b]=-∫[b,a], ∫[a,b]+∫[b,c]=∫[a,c].
Conceptos clave:
Barrow: ∫[a,b]=F(b)-F(a)
Área = |∫| si f<0
Entre curvas: ∫|f-g|
∫[a,a]=0
∫[a,b]=-∫[b,a]
0/4 ejercicios completados
Ejercicio 1Básico
∫₀² x dx =
💡 Pista: [x²/2]₀² = 2.
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Paso 1x²/2 |₀² = 4/2 − 0 = **2**
Ejercicio 2Básico
∫₁³ 2 dx =
💡 Pista: 2·(3−1).
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Paso 12×(3−1) = **4**
Ejercicio 3Intermedio
∫₀¹ 3x² dx =
💡 Pista: [x³]₀¹ = 1.
📝 Ver solución paso a paso
Paso 1x³ |₀¹ = 1 − 0 = **1**
Ejercicio 4Avanzado
Área entre f(x) y eje X: ∫₀π sen(x) dx =
💡 Pista: [−cos(x)]₀π = 1+1.
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Paso 1−cos(π)+cos(0) = 1+1 = **2**
Tema 12 — Probabilidad y distribuciones
Conceptos clave:
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
Teorema de Bayes: P(Aᵢ|B) = P(B|Aᵢ)·P(Aᵢ) / ΣP(B|Aⱼ)·P(Aⱼ)